概率图模型-贝叶斯网络

Posted 2022-05-12 ljtyxl

概率图模型使用图的方法来表示概率分布，在该模型中，结点表示变量，节点之间的边表示变量之间的概略关系。

概率图的分类

概率图依据边的属性不同主要分为两大类：
第一类是有向图无环图，表示依赖关系，称为有向图模型或贝叶斯网。
第二类是使用无向图，表示变量之间的关系，称为无向图模型或马尔科夫网。
当变量间存在显著地因果关系时，常使用贝叶斯网；当难以获得显式的因果关系，则常使用马尔科夫网。

根据图模型中的边是否有向，将概率图的代表模型如下：


各个图模型的演变关系如下：

其中横向，由点到线（序列结构），最终到面。
纵向则是在一定的条件下生成式模型转换为判别式模型。
下面假设有观测序列x，状态序列y，并依次来说明生成式与判别式模型的区别。

生成式模型

生成式模型的定义是：“状态（输出）序列y按照一定的规律生成观测（输入）序列x”。生成式模型的本质是对于联合概率分布p(x,y)进行建模，并根据生成概率最大的生成序列来获取y。

这类模型中，一般有严格的独立性假设，模型变量之间的关系清楚，处理单类问题时较为灵活。

弱点是模型的推导与学习较为复杂。

主要的模型有：n-gram，HMM、朴素贝叶斯、概率上下文无关文法。

判别式模型

判别式模型的定义是：“状态（输出）序列y是由观测序列（输入）所决定的。”判别式模型的本质是对后验概率p（y|x）进行建模，优点是处理多累问题或分辨某一类与其他类差异时更为灵活，模型构造简单。

缺点是模型的描述能力有限，变量之间的关系不清楚。大多数模型都是有监督学习，不能很好地扩展为无监督学习。

主要模型有：最大熵模型、最大熵马尔科夫模型、支持向量机、条件随机场、感知机。

贝叶斯网络

贝叶斯网络也称为belief networks，是一种基于概率推理的数学模型，理论基础为贝叶斯公式。

贝叶斯网络形式上是一个有向无环图（DAG directed acyclic graph），结点表示随机变量，结点之间的边表示条件依存关系，箭头出发的节点为父节点，箭头到达的节点为子节点，子节点依存于父节点。

如果两个节点没有连接关系，表示两个随机变量能够在某些特定情况下条件独立。

构造贝叶斯网络

构造贝叶斯网络是一个复杂的任务，其主要有三个方面的问题：表示、推断、学习

表示

在简单某一随机变量的组合上

即便是随机变量只有两个取值，那么联合概率分布P需要对 2^n 种不同取值下的概率情况进行说明，然而这件事的计算代价非常高。

推断

由于贝叶斯网络是变量以及关系的完整模型，那么在观测到某些变量变化的时候就需要使用一些推断方法，来得知另一些变量子集的变化。
概率推理：在已知某些证据的情况下，计算变量的后验分布的过程。
常用的精确推理方法有两种

• 变量消除法 variable elimination
• 团树法 clique tree

常用的近似推理

• 重要性抽样 importance sampling
• 随机马尔科夫链蒙特卡洛模拟法 Markov chain Monte Carlo，MCMC
• 循环信念传播法 loopy belief propagation
• 泛化信念传播法 generalized belief propagation

学习

参数学习的目的就是得知各个变量结点之间相互依存的强度。
比如给定某个节点X，需要计算 P(X|父节点1，父节点2...)，这些概率分布可以是任意形式，通常是离散分布与高斯分布。

常用的参数学习方法包括：

• 最大似然估计 MLE
• 最大后验概率 MAP
• 期望最大 EM
• 贝叶斯估计方法，贝叶斯图模型中，使用较多的是该种方法

除了参数学习，还需要结构学习来学习各个变量之间的图关系，简单的贝叶斯可以由有经验的专家来构造，但一般情况下人工构造一个贝叶斯网络的结构几乎不可能，所以自动结构学习是一项颇具挑战的任务。

MLE MAP 贝叶斯估计之间的关系

其中，最大似然估计（MLE）是频率派的代表，贝叶斯估计（Bayes）是贝叶斯派的代表，最大后验估计是频率派和贝叶斯派的合成，是一种规则化后的最大似然估计。

一般来说，在我们对于先验概率一无所知时，只能假设每种猜测的先验概率是均等的（其实这也是人类经验的结果），这个时候就只有用最大似然了，但不能忘记一个重要的前提是所有的采样都是独立同分布。

如果我们有足够的自信，训练集中的样本分布的确很接近真实的情况，这时就应该用贝叶斯方法。贝叶斯学派强调的是“靠谱的先验概率”。所以说贝叶斯学派的适用范围更广，关键要先验概率靠谱，而频率学派有效的前提也是他们的先验概率同样是经验统计的结果。但也说明了贝叶斯计算要更为复杂，因为需要选择一个常用分布，并确定一个初始参数集作为先验分布。

再者，MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，即是否考虑了先验知识。或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。

 

1. 贝叶斯网络

 贝叶斯网络(Bayesian network)，又称信念网络(Belief Network)，或有向无环图模型。它用网络结构代表领域的基本因果知识。
 贝叶斯网络中的节点表示命题（或随机变量），认为有依赖关系（或非条件独立）的命题用箭头来连接。
 令G = (I,E)表示一个有向无环图(DAG)，其中I代表图形中所有的节点的集合，而E代表有向连接线段的集合，且令X = (Xi)， i ∈ I为其有向无环图中的某一节点i所代表的命题，则节点X的联合概率可以表示成：

 其中Pa(i)是i的父结点，是i的因。联合概率可由各自的局部条件概率分布相乘得出：
 p(x1,…,xk)=p(xk|x1,….,xk-1)…p(x2|x1)p(x1)
 这里顺便说一下朴素贝叶斯，由于其中各个变量x相互独立p(x2|x1)=p(x2)，得出：
 p(x1,…,xk)=p(xk)…p(x2)p(x1)
 因此说朴素贝叶斯是贝叶斯网络的一种特殊情况。

2. 例程

(1) 功能

 eBay的Bayesian-belief-networks是一个贝叶斯网络的python工具包，此例为使用该库解决蒙提霍尔三门问题。

(2) 问题描述

 蒙提霍尔是概率中的经典问题，出自美国的电视游戏节目。问题的名字来自该节目的主持人蒙提•霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊（主持人不会打开有车的那扇门）。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？答案是：不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。
 这是为什么呢？接着往下看。

(3) 下载安装

$ git clone https://github.com/eBay/bayesian-belief-networks

(4) 代码

from bayesian.bbn import build_bbn

def f_prize_door(prize_door):
    return 0.33333333
def f_guest_door(guest_door):
    return 0.33333333
def f_monty_door(prize_door, guest_door, monty_door):
    if prize_door == guest_door:  # 参赛者猜对了
        if prize_door == monty_door:
            return 0     # Monty不会打开有车的那扇门，不可能发生
        else:
            return 0.5   # Monty会打开其它两扇门，二选一
    elif prize_door == monty_door:
        return 0         #  Monty不会打开有车的那扇门，不可能发生
    elif guest_door == monty_door:
        return 0         # 门已经由参赛者选定，不可能发生
    else:
        return 1    # Monty打开另一扇有羊的门

if __name__ == '__main__':
    g = build_bbn(
        f_prize_door,
        f_guest_door,
        f_monty_door,
        domains=dict(
            prize_door=['A', 'B', 'C'],
            guest_door=['A', 'B', 'C'],
            monty_door=['A', 'B', 'C']))

    g.q()
    g.q(guest_door='A')
g.q(guest_door='A', monty_door='B')

(5) 运行结果

(6) 分析

 程序中构建的贝叶斯网络如下图所示。

 先看看库是如何使用的，首先通过三个判别函数（节点对应的是判别函数，并不对应三个门）以及它们之间的依赖关系定义了网络g的结构，节点和连线关系是程序员根据业务逻辑定义的。而机器用来优化和计算在给定的条件下产生结果的概率。
 prize_door和guest_door都是随机的，所以概率都是0.333；而主持人知道哪扇门后是奖，所以monty_door由另外两个结点（父结点）决定的，当参赛者猜对时，Monty会打开另两门之一，没猜对时Monty只能打开另一扇有羊的门。
 从运行结果可以看到：先验是随机抽取的0.333，随着限制条件依次加入，不确定性逐渐变小，最终，参赛者如果选择换门（C）的赢率变为不换门（A）的两倍。

 

Deep Learning Is Not Good Enough, We Need Bayesian Deep Learning for Safe AI