威尔逊定理及证明

Posted 2020-12-21 codingxu

威尔逊定理

( p-1 )! ≡ -1 ( mod p )，当且仅当 p 为**质数**
     
式子看着挺唬人，其实意思就是 ( p-1 )! ≡     p-1 ≡ -1 ( mod p )

证明

<1> 若p不是素数，显然 p = a * b (显然1 < a < p-1,1 < b < p-1) 。

①a ≠ b

( p - 1 )!

= 1 * 2 * ... * ( p - 1 )

= 1 * 2 * 3 * ... * a * ... * b * ... * ( p - 1 )。

故 ( p - 1 )! ≡ 0 ( mod p )，矛盾。

② a = b

( p - 1 )!

= 1 * 2 * ... * ( p - 1 )

= 1 * 2 * 3 * ... * a * ... * 2a * ... * ( p - 1 )。

故 ( p - 1 )! ≡ 0 ( mod p )，矛盾。

p = 4 时，( p - 1 )! = 6,答案显然。

∴( p-1 )! ≡ -1 ( mod p )时，p为素数

<2> 当p为素数， 定义集合A={2,3,4,......,p-2}，如果对于A中每一个元素a，均存在A中另一个元素b，使得ab ≡ 1 (mod p)，且a不同时，b一定不同，则命题一定成立。

为什么？

① 若a = 1，ab = b ≡ 1 ( mod p ), ∵ b ≠ a，矛盾

若a = p-1，（ p - 1 ）^2 ≡ 1 ( mod p ),然而 b ≠ a，矛盾。

由上得证，A={2,3,4,......,p-2}。

② 假设存在两个不同的a对应的b相同，再假设这两个a分别为 a1，a2 ( a1 < a2 )。则有( a2 - a1 ) * b ≡ 0 ( mod p )。而( a2 - a1 ) 、b 均小于 p 且 p 为素数，故显然不成立。

由上得证，不同的a对应的b不相同。

 

结论

综上，因为

( p -1 )! =若干a * b + ( p - 1 )，

故

( p - 1 )! ≡ p - 1 ( mod p ),

显然( p - 1 )! + 1

≡ p - 1 + 1

≡ 0 ( mod p ),