关于二分图结论的一些证明

Posted 2020-12-19 wzx-rs-sthn

（环的最大匹配方式有多种这里不予讨论）
设最大匹配数为K ，点数为N

最小点覆盖集：
就是用最少的点集G，使这个图上的所有线段的左端点或右端点属于G
证明：
由于所有最大匹配的线段都不相交，只要取左端点或右端点就可以,所以最大匹配的每一个线段都对应了一个点，一共有K个
因为是最大匹配，不存在增广路，当某两条线段的要取的端点相交时，可以知道那一定不是最大匹配。

最大点独立集：
在一个图M中，取最多的点，使得每个点都互不相邻
证明：
当一条线段AB属于最大匹配中的边时，它一定有一个端点没有连其他的边，所以最大匹配的线段上一共有K个，
而不属于最大匹配的线段上的有N−2∗K个（每条最大匹配的线段都对应了两个点）
因为我们取的是没有连其他边的端点，自然也就不存在不在最大匹配的线段上的点与其相邻
所以一共有N−2∗K+K=N−K个点

最小边覆盖：
取最少的边集G，使得所有的顶点都在G中
证明：
其实与最大点独立集差不多，只是点也可以视为边，最大匹配中的边覆盖了2∗k点，
剩下的N−2∗K个点又要用N−2∗K条线段去覆盖，所以一共是N−2∗K+K=N−K

最小路径覆盖：
在一个有向图中，用不相交的路径覆盖整个图
证明：
因为每个点最初都是一条路径，总共有N条不相交路径。我们每次在二分图里加一条边就相当于把两条路径合成了一条路径，
因为路径之间不能有公共点，所以加的边之间也不能有公共点，而最多能合并K次，所以答案是N−K