二分图的一些定理

Posted 2020-09-10 蒟蒻zht的博客

最小点覆盖：用最少的点（X集合或Y集合都的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。

结论：最小点覆盖数 = 最大匹配数M

因为只需要让它们覆盖最大匹配的M条边，则其它边一定被覆盖，而每一条边只需选择一个节点。

 

DAG图的最小路径覆盖：用尽量少的不相交的简单路径覆盖有向无环图所有顶点。

二分图模型：把所有顶点 i 拆成两个：X集合中的 i 和Y集合中的 i‘。若有边 i->j，则在二分图中引入边 i->j‘。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数N - 最大匹配数M

 

最大独立集：在一个二分图中，选择最多的顶点（可以是左集合中的也可以是右集合中的），使得所选择的点集中任意两点之间没有连边。

结论：最大独立集 = 节点数N - 最大匹配数M。

可以这样理解，在总的点集中，去掉最少的点，使得剩下的点相互之间没有边。即用最少的点去覆盖所有的边。这样就转化成了最小点覆盖。