简单的图论问题之单源最短路dijkstra算法

Posted 2020-12-17 weijianzhen

Solution: Dijkstra (大概读作：迪杰斯特拉？)

算法思想：

给定一张n个点，m条边的图，起点为s。求起点s到图中所有点的最短路径（单源最短路。dis[i]表示从起点到i的最短距离。vis[i]表示此点是否已被标记确定为最短。

1、初始化dis[s]=0,其余结点dis为正无穷大。

2、找到一个未被标记的、dis[x]最小的结点x，标记x。

3、扫描结点x的所有出边（x,y,z）,若dis[y]>dis[x]+z,则用dis[x]+z更新dis[y]。

4、重复2、3步骤，知道所有点均被标记。

复杂度：O（n^2）。

优化：优先队列（堆）。

?```#include  <queue>```

?```priority_queue< pair<int,int> >q;```

https://www.luogu.com.cn/problem/P4779

对dis数组进行维护，加快获取最小值以及执行一条边的扩展与更新。

代码:

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long int ll;
const int maxn=1000005;
ll n,m,s,tot,head[maxn],x,dis[maxn];
priority_queue< pair<ll,ll> >q;//优先队列（二叉堆）两维：第一维为dis[i]相反数第二维结点编号 
struct node{
	ll nxt,to;
	ll w;
}t[maxn];//链式前向星存图 
void add(const int u,const int v,const int w){
	t[++tot].to=v;t[tot].w=w;
	t[tot].nxt=head[u];head[u]=tot;
}//加边 
bool vis[maxn]; 
void dijkstra(){  
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));//初始边无限大 
	memset(vis,0,sizeof(vis));//结点初始均为访问 
	dis[s]=0;//起点到自己距离为零 
	q.push(make_pair(0,s));//起点进堆 
	while(q.size()!=0){// 
		x=q.top().second;q.pop();//初始结点入队 
		if(vis[x])continue;//如果走过，直接跳过 
		vis[x]=1;//标记已访问 
		for(ll i=head[x];i;i=t[i].nxt){
			ll y=t[i].to,z=t[i].w;
			if(dis[y]>dis[x]+z){//松弛 
				dis[y]=dis[x]+z;//更新起点到y最短路 
				q.push(make_pair(-dis[y],y));//d[y]相反数入队，转小根堆。 
			}
		}
	}
} 
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&s);//n个点，m条边，起点为s。 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ll a,b,c;
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		add(a,b,c);
	}
	dijkstra(); 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld ",dis[i]);
	}
}