算法之单源最短路径

Posted 2021-04-28 Java笔记虾

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法之单源最短路径相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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一、引言

> 上次两个算法是否沉淀了呢? 这次我们换一种，我们来学会偷懒~

> 单源最短路径（Dijkstra算法），将偷懒进行到底~。

> 大家有兴趣，可以将三个算法对比分析一下。

二、小小问题

* Q：如图，小明(标号为A)到其他同学的最短距离是多少呢？（注意箭头方向）

算法之单源最短路径

看着这个图是不是一脸蒙呢？注意箭头~~

算法之单源最短路径

Q：两点之间如何存储边的距离呢？

比如B->A的长度为2 length[B][A]=2 这样是不是不错? 所以我们可以得到下面的表格了。∞ 代表不能到达

算法之单源最短路径

那么问题来了

Q:如果用Java来解决，我们输入这些点，这些边的数据，能不能得出A点到其他点的最短距离呢？

通过二维表格我们可以知道从A点初始时到各个点的距离（不一定是最短的距离）：

算法之单源最短路径

我们根据这个例子，将这个走一遍看看怎么做;

先找距离A最近的顶点，通过上面的表格可以知道离A最近的是C点。当选择了C点，A到C的最短距离就确定了，至于为什么，你们能说出来吗？因为C点是距离A点最近的点，因为边的长度为正数，所以A可能通过其他点到C，但是长度没C的短。
选择了C，C有两条出路:(C->B)和 (C->F) .这怎么算呢? 先判断(A->C)+(C->B)这条路能否比(A->B)的路程短。然后比较发现(A->C)+(C->B) <(A->B) 因此更新 length[A][B] =19; 然后判断(A->C)+(C->F)这条路能否比(A->F)的路程短，之后发现(A->C)+(C->F)< (A->F) 因此更新length[A][F]=12；

更新完后的长度为：

算法之单源最短路径

然后继续在除了C以外的点，找距离A点最近的点。通过上面的表格，我们可以知道接下来最近的顶点是F。当选择了F点，(A->F)的最短距离就确定了，至于为什么？能说出来吗？
选择了F，F有两条出路：(F->D)和(F->E),同样的，怎么算呢?先判断(A->F)+(F->D)这条路是否比(A->D)的路程短，之后比较发现((A->F)+(F->D))(长度25)< (A->D)（长度28）,因此更新length[A][D]=25;然后判断(A->F)+(F->E)是否比(A->E)路程短，之后发现(A->F)+(F->E)<(A->E). 因此更新length[A][E]=30;

更新完后的长度为：

算法之单源最短路径

然后继续在除了C,F以外的点，找距离A点最近的点。通过上面的表格，我们知道最近的顶点是B。当选择了B，(A->B)的最短距离就确定了，再问一遍，是为什么呢？
选择B，B有两条出路：(B->E)和(B->A),同样的，怎么算呢?先判断(A->B)+(B->E) 这条路是否比(A->E)的路程短。然后比较发现((A->B)+(B->E))(29) < A->E(30)，因此更新length[A][E]=29.之后判断(A->B)+(B->A)是否比(A->A)的路程短。然后发现(A->B)+(B->A)>(A->A); 因此更新length[A][A] =0(其实不需要更新)

更新完后的长度为：

算法之单源最短路径

然后继续在除了C,F,B以外的点，找距离A点最近的点。通过上面的表格，我们知道最近的点是D。当选择了D，A->D的最短距离就确定了。选择D，不需要做任何处理。继续找距离A点最近的点，接下来最近的点是E;E只有一条出路：E->D;先判断A->D+E->D这条路是否比A->D的路程短。然后比较发现((A->E)+(E->D))(长度33) > (A->D)(29)

更新完后的长度为：

接着找距离A点近的，但是发现所有的点都已经找过，最短距离已经计算完毕。

思考：这个过程的代码如何写呢？似乎就是循环（这层循环点）里面嵌套循环（找寻与起始点距离近的点），然后循环找点（距离近的点到其他点的距离）然后判断距离是否为最短。

让我们试下

package dijkstra;
import java.util.Scanner;
/**
* Created by Administrator on 2018/5/20.
* target: Dijkstra算法示例
* 输入：
6 9
0 1 1
0 2 12
1 2 9
1 3 3
2 4 5
3 2 4
3 4 13
3 5 15
4 5 4
* 输出：
* 0 1 8 4 13 17
*
* @author danqiusheng
*/
public class Dijkstra {
   static int INF = Integer.MAX_VALUE;//无法到达

   public static void main(String[] args) {
       Scanner read = new Scanner(System.in);
       // 输入points, edges 顶点数和边树
       int points = read.nextInt();
       int edges = read.nextInt();


       int[][] length = new int[points][points];

       // 初始化边（当前点到当前点为0）
       for (int i = 0; i < points; i++) {
           for (int j = 0; j < points; j++) {
               if (i == j) length[i][j] = 0;
               else length[i][j] = INF;
           }
       }

       read.nextLine();

       //输入顶点关系
       for (int i = 0; i < edges; i++) {
           String[] data = read.nextLine().split(" ");
           length[Integer.parseInt(data[0])][Integer.parseInt(data[1])] = Integer.parseInt(data[2]);
       }

       // 用一个一维数组存储当前点到其他点的距离，因为要根据二维表获取点到点的距离,不更改二维表的数据
       int[] distance = new int[points];

       // 初始化1点点到其余各个顶点的初始路程
       for (int i = 0; i < points; i++) {
           distance[i] = length[0][i];
       }

       // 定义一个flag数组。这个数组标记距离1最近的点被选择的数据
       boolean[] flag = new boolean[points];
       flag[0] = true;// 1点是最近的点，默认选择

       int min;
       int current = 0;
       for (int i = 0; i < points; i++) {
           min = INF;
           // 找寻距离1最短的点
           for (int j = 0; j < points; j++) {
               if (!flag[j] && distance[j] < min) {
                   min = distance[j];
                   current = j;
               }
           }
           // 设置这个距离1最短的点被选择
           flag[current] = true;

           // 获取这个最短的点到其他点的距离
           for (int m = 0; m < points; m++) {
               if (length[current][m] < INF) { // 判断是否为不可达
                   if (distance[m] > distance[current] + length[current][m]) {// 判断是否小于最短路径
                       distance[m] = distance[current] + length[current][m];
                   }
               }
           }
       }

       //输出最终的结果
       for (int i = 0; i < points; i++) {
           System.out.print(distance[i]+" ");
       }
   }
}