算法笔记：图论中的单源最短路径算法——Bellman-Ford 算法

Posted 2021-04-28 无忧公主的数学时间

有一阵子没有写算法文章了吧，不知道大家有没有研究各种算法呢？还记得以前写过一篇 Dijkstra 算法的文章吧，在图论中可以求从一个节点出发，到每个节点的最短路径。虽然并不特别复杂，又比较有用，但还是有局限性的。今天介绍的 Bellman-Ford 算法，适用范围更广，我觉得代码可能还更简单一点哦。

下面是一些相关的链接，可以先阅读一下哦：

无忧公主

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Dijkstra算法的局限

Dijkstra 算法是不能用于有负边的图，但实际上，有负权值边的图是可能存在最短路径的。一般的思想就是尽量走负边，但如果存在一个环，其权值之和为负，那就不存在最短路了。（前提保证图是连通的）原因其实比较好理解，从起点出发，一定能够走到这个负权环上。之后就无止境地沿着环绕啊绕，总权值越来越小，也就相当于没有最短路了。

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Bellman-Ford算法

如果单是解决负权边的问题，有一种比较基本简单的思想，就是将边全部拓扑排序一下，然后按次序扫描一遍，不断将目前最短路总权值更新即可。不过，必须是有向无环图才能进行拓扑排序，那如果存在权值非负的环，该怎么做呢？

首先需要定义 dist[]，即从起点出发，到每个点目前的最短路权值，这个在求单源最短路时是必备的。初始时起点设为 0，其余都设为 ∞（根据题目要求设定） 。如果需要记录下具体的路径，可以在做的过程当中，记录下每个点的前面一个节点。

我们可以扫描全部的边，但不需要给边排序。假设扫描到的边为 x -> y、权值为 w，此时更新 dist [ y ] 为 dist [ x ] + w，前提是 dist [ y ] 比 dist [ x ] + w 大，这个可以理解为取两者较小值。这样的扫描可以理解为，从起点一层一层地把权值刷过去。

显然扫描一遍是不够的，但最多只需要 n 遍，其中 n 为节点个数。原因就是，一条最短路至多经过全部的节点，这样刷 n 遍就一定能到达最远的地方了。这就是 Bellman-Ford 算法，这还有一个附带的 “ 功能 ”：如果刷到第 n + 1 遍，还有节点在更新，就说明存在负环。因此还可以利用这个算法来判断是否存在负环。

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优化的策略（SPFA）

Bellman-Ford 算法是不够快的，需要两重循环，时间复杂度为 O ( n × m )，即节点数×边数。这是可以优化的，因为不一定需要扫描这么多遍，重复更新可能也是浪费的。说具体一些，即如果这轮 dist [ i ] 没有被更新，那么下一轮就没有必要更新所有从 i 出发的边。因为都是有向边，只有当 i 被更新了，到达的邻居才可能被更新。

那么我们可以将所有被更新的节点记录下来，存储容器用队列 queue 再合适不过了，即先进先出。每次从队头取出节点（这个节点保证之前被更新过），访问所有出边，如果这个邻居不在目前的 queue 中（不然不仅会慢，而且 queue 的大小不能控制，很可能超过内存限制）就再放到 queue 中。

之前的 Bellman-Ford 算法是可以判断是否存在负环的，但这种利用 queue 的做法已经没有 “ 第几遍刷 ” 这个循环记录了，那怎么判断呢？其实可以记录下 queue 中的每个节点是第几次被更新（放入 queue 中），如果超过 n，就说明有负环，可以直接退出。否则一直执行到 queue 为空，可以求出从起点出发到所有节点的最短路。

看上去真像 bfs 的思想啊，这个其实就是 SPFA 算法。Bellman-Ford 算法可能因为比较慢而并不怎么有名（但如果节点数只有 200、500 这个级别的，还是可以用的），但类似的 SPFA —— Shortest Path Faster Algorithm 估计有一些人会听说过吧。如果现在觉得并不难，那就去写代码吧！

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C++ 示例代码

下面是 Bellman-Ford 算法的 C++ 示例代码（并不长哦），其中 ans 为图中是否存在负环，D[] 记录的就是从起点到每个节点的最短路，这里假设 1 号节点为起点。（可以根据题目要求进行调整和修改）

下面是 SPFA 算法的 C++ 示例代码，ans 和 D[] 的定义和 Bellman-Ford 算法的源代码中的定义是一样的，v[] 表示一个节点是否在 queue 中。（可以根据题目要求进行调整和修改）

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后记

最后来讲点和算法无关、八卦好玩的吧。Bellman-Ford 算法是在 1955 年左右（时间上比Dijkstra算法还早几年），由 Bellman 和 Ford 同时分别发现的，所以称为 Bellman-Ford 算法。他们都是美国人，不过却都是数学家，因为当时的计算机并不普及，而在数学的学习中，是有图论这个部分的。Bellman-Ford 算法虽然有点慢，但是是求解最短路问题的基础框架，并且有很大优化余地的，到现在还有人在研究。之后，他们还发明了其他著名算法，大家有兴趣的可以自己上网查一下哦。

这种求单源最短路的图论算法确实有好几种：基于拓扑排序、Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法以及经过优化的 SPFA 算法。这些算法的适用范围各有不同，也有优缺点，大家可以先思考一下，我之后还可能写文章分析的哦，敬请期待！

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这是我自己学习的笔记，大家如果有什么异议、问题或者建议，欢迎留言。