20200614-解线性方程组与状态空间表达式实现的方法

Posted 2020-12-13 shuuei

进度日志

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• 公共课一：政治
• 公共课二：英语一
• 业务课一：数学一
• 业务课二：自动控制原理、信号与系统

20200614

• 很好，上午休息。嗯...调子不对。
• 下午...重新在状态空间中挣扎...（因为看的是第二次视频了...）能控标准I型和能观标准I型分别来自两种不同的实现方法。后面在进行状态向量的线性变换之时发现特征值特征向量、相似矩阵、对角矩阵需要复习。
• 晚上，就着笔记复习线性代数解方程组，向量空间与矩阵的秩与方程组的解。
• 15号...上午计划整高数的微分方程；下午经典控制中的劳斯判据刷题；晚上...无穷级数试试第三遍刷能记起来多少。

公共课一

NONE

公共课二

• 单词
  • 马桶刷 toilet brush
  • 洗漱用品 toiletries
  • tan 晒黑；棕褐色
  • lilac 丁香花；淡紫色
  • 起步价 base fare
  • 全价票 full fare ticket
  • fare 饮食、饭菜；出租车乘客
  • assure 和 ensure区别 assure主语只能是人

业务课一

• 线性代数-笔记复习
  • L2
    • E Elementary/Elimination Matrix
    • P Permutation Matrix
    • I Identity Matrix
    • Good Matrix -> Invertible
    • 通过观察来求简单矩阵的逆
  • L3
    • 4种方法来看待矩阵乘法AB
      • 注意其中A的列去乘以B的行 -> 秩一矩阵的引出
    • 可逆矩阵<=>非奇异矩阵 Invertible, Nonsingular
      • 什么时候矩阵没有其逆？->可以找到一个非零向量x，使得Ax=0
      • 矩阵可逆，其列向量可以张成整个空间
      • 求逆(Gauss-Jordan)：[ A | I ] -> [ I | A_-1]
  • L4
    • A=LU，最基础的矩阵分解 (A=LDU, 所有信息都在LDU中)
    • A转置的逆=A逆的转置
    • "I always worry that you will think this course is all elimination. It‘s just row operations... And, Please don‘t. We‘ll way BEYOND THAT!!!" --- W.Gilbert.Strang
      • "Well... It‘s right algebra to do first..."
    • A=LDU (下对角-对角-上对角)
  • L5
    • PA=LU (P:交换两行，使主元列不为0)
    • Best Matrix -> Symmetric Matries
    • A^T=A (普通)，P^T=P^-1 (稀少！)
    • 向量空间 必须包含零向量(包含原点, 0*x 也在向量空间中)
      • 封闭的。（线性运算后仍在该空间内）
      • 向量空间必须对加法、数乘封闭
    • 子空间
      • R²的子空间：所有过原点的直线，原点
      • R³的子空间：所有过原点的直线和所有过原点的平面，原点
      • “逃不出0的手掌心”
    • 矩阵A与向量空间？
      • 列向量的线性组合C(A) 张成了向量空间（子空间） column space
      • 问题是其列向量的线性组合张成了什么样的空间？整个向量空间（对应维数）？平面？直线？原点（零向量）？
  • L6
    • 矩阵的列空间张成的向量空间->两个问题
      • How big it is? 张成的向量空间覆盖了整个n维空间？或者是n维空间中的平面？直线？
      • How small it is? 我们所感兴趣的某个向量b，它是否在C(A)中？-> Ax=b
    • Ax=b
      • 它对任意b都有解吗？
        • 不一定，A的列向量也许张不成整个向量空间
      • 要怎么样的b才能有解？
        • b在A的列向量所张成的子（向量）空间中
      • 另一种解释：方程组的个数与未知量的个数
    • Null Space 零空间 N(A)
      • Ax=0, 所有的解x所构（张）成的空间
  • L7 Ax=0
    • 如何表示在null space中的所有的向量？解Ax=0
      • 1> 消元（行阶梯型），得到主元列，非主元列为自由列
      • 2> 找到自由列对应的向量x中的分量，其为自由变量，赋任意值（一般为一个1和数个0)
      • 3> 回代(back substitution)，求解主元列对应的向量x中的分量（主变量）
      • 4> 重复2,3步骤，得到对应自由变量个数的所有特解(special solutions)
      • 5> 利用特解的线性组合得到零空间(null space)
    • 零空间的维数？-> 特解的个数，由赋值方法可知特解之间线性无关
      • 特解个数->自由变量个数->自由列个数->总列数-主元列个数->RANK 秩
      • 主元列个数即为矩阵的秩(自由列对应自由变量，主元列对应主变量, pivot variables, free variables)
      • 矩阵的秩为r；r个主变量；r个方程实际起作用(r个独立的方程)
    • 如何更快地回代得到特解
      • 简化行阶梯型->行最简型
      • magic：从行最简型直接得出特解...
        • [I|F], -> [-F|I]
        • [I|F][-F|I]=[0] (下面有零行且可能中间穿插着单位列)
  • L8 Ax=b (Ax=0:齐次方程组往往称为Ax=b的导出组)
    • 可解性，什么时候Ax=b有解？
      • Ax=b有解，当b在矩阵A列向量所张成的向量空间C(A)中
      • 当A中各行的线性组合得出零行时，b中相对应元素相同的行变换也应为零。r(A|b)=r(A)
    • 如何找到Ax=b的解（完全解,complete solution）sol‘n
      • 首先找到一个特殊解(particular solution)
        • 消元（行阶梯型或者行最简），得到主元列
        • 确定非主元列对应的自由变量，自由变量全赋值0
        • 回代，确定主变量的值，得到特殊解(particular solution)，记作
      • 其次确定其导出组Ax=0的解(null space)，记作x_n
      • 最后的完全解(complete solution)为两者相加x=x_p+x_n
    • x=x_p+x_n 加上了一个特殊解，就不构成向量空间，因其不过原点。
      • 相当于向量空间加上一个偏移，便不包含了原点。
    • 矩阵的秩与解的数量(A_mn)
      • 列满秩 r=n
        • 没有自由变量，特解为零, 零空间N(A)={0}
        • 若方程有解，则完全解仅为一个特殊解x=x_p
        • 为什么列满秩时并不都有解
          • 因为b需要是A各列的线性组合才行，而当列向量的维数m大于线性无关的列向量的个数n时(m>n)，单凭n个线性无关的列向量必不能张成整个m维向量空间。故不能满足所有b都有解。
          • 仅当向量b“碰巧”落在矩阵A列向量张成的列空间中时（或者说b“碰巧”为A各列的线性组合时）才有解。
        • 故列满秩时，要么没有解，要么1个解
      • 行满秩 r=m
        • 可解性：对什么样的b有解？对任意b都有解。
          • 解释1: 消元后不存在零行，即对向量b中的各元素没有要求
            • why? 因为如果A消元后存在零行，则要求b中的元素在进行相同消元后也必须得到0，即其各个分量间存在线性关系，故不存在零行则说明对b无要求
          • 解释2: 行满秩，隐含一个条件是向量的维数必然小于或者等于构成该矩阵的向量的个数(m<=n)，且主元列个数为m；而由m个线性无关的列向量的线性组合所张成的向量空间为整个m维向量空间。故m维向量b必在该行满秩矩阵的列空间中。
        • 解的数量？
          • r=m<n时，存在无穷多解。因为其导出组Ax=0中的自由变量个数为n-m(r)个，其n-m个特解的线性组合包含无穷多解。x=x_p+x_n
          • r=m=n时，存在唯一解。因为其Ax=0，自由变量个数为0，由特解张成的解空间只包含零向量。N(A)={0}（同r=n时的情况）
          • 即，行满秩时，要么有1个解，要么无穷多解
      • 与列满秩不同，行满秩需要在m=n时即列也满秩时才有唯一解。而列满秩仅凭r=n就可以实现唯一解。故列满秩是存在唯一解的必要条件。
      • 行列都不满秩：没有解，或者无穷解
        • 行不满秩，必然有零行，故对b有要求，所以有可能没有解；
        • 列不满秩，则存在非主元列，即存在自由变量，其导出组的解包含无穷多个解。

业务课二

• 现代控制理论
  • 状态空间表达式的建立
    • 实现的两种方法
      • 方法一：选取中间变量->能控标准I型
        • 如果系统的状态空间表达式能够直接变换成：可以在系统矩阵中直接观察到系统特征多项式系数。且输入矩阵b中最后一个元素为1，其余均为0.
          • 系统矩阵A的前n-1行为次对角单位阵，最后一行由系统传递函数分母的系数，也就是系统特征多项式的系数取相反号组成。
        • 直接观察到系数，对其进行综合控制是非常便利的。
      • 方法二：待定系数法->能观标准I型
    • 多输入多输出系统的实现方法-方框图法
      • 经典控制系统理论难以有效地处理多输入多输出系统，通常不会建立多输入多输出系统的微分方程或者传递函数描述。
  • 状态空间表达式的建立
    • 方框图法、机理法、实现的方法
    • 状态变量的选取
      • 方框图法：每一个积分器的输出选为状态变量
      • 机理法：每个独立储能元件，选一个变量作为状态变量（例如质量块的位移、速度）
      • 实现方法1：传递函数分母分之输入的拉式反变换，及其各阶导数作为状态变量。
      • 实现方法2：系统输入、输出各阶导数的线性组合选作状态变量
  • 状态向量的线性变换
    • 状态向量选取的非唯一性->状态空间表达式的非唯一性
    • 如何将一个一般型的状态空间表达式变换为能控能观标准型的状态空间表达式