线性方程组——线性方程组解的结构
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性方程组——线性方程组解的结构相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
齐次线性方程组解的结构
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
s
1
x
1
+
a
s
2
x
2
+
⋯
+
a
s
n
x
n
=
0
(1)
\\left\\{\\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\\\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\\\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\\cdots+a_{s n} x_{n}=0 \\end{array}\\right.\\tag{1}
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯as1x1+as2x2+⋯+asnxn=0(1)
若（1）有非零解，则系数矩阵
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
A=\\left(a_{i j}\\right)_{n \\times n}
A=(aij)n×n 的行列式
∣
A
∣
=
0
|A|=\\mathbf{0}
∣A∣=0
⇔
r
(
A
)
<
n
\\Leftrightarrow r(A)<n
⇔r(A)<n
解的性质
性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解;
性质2（1）的一个解的倍数还是（1）的解;
性质3（1）的解的任一线性组合还是（1）的解.
解空间
设W为齐次线性方程组（1）的全体解向量，则
∀
η
1
,
η
2
∈
W
,
有
η
1
+
η
2
∈
W
∀
k
∈
P
,
∀
η
∈
W
,
有k
η
∈
W
\\begin{array}{l} \\forall \\eta_{1}, \\eta_{2} \\in W, \\text { 有 } \\eta_{1}+\\eta_{2} \\in W \\\\ \\forall k \\in P, \\forall \\eta \\in W, \\text { 有k } \\eta \\in W \\end{array}
∀η1,η2∈W, 有 η1+η2∈W∀k∈P,∀η∈W, 有k η∈W
即
W
W
W 关于解的线性运算封闭. 称之为齐次线性方程组（1）的解空间.
基础解系
齐次线性方程组（1）的一组解 η 1 , η 2 , ⋯ , η r , \\eta_{1}, \\eta_{2}, \\cdots, \\eta_{\\mathrm{r}}, η1,η2,⋯,ηr, 若满足
-
η
1
,
η
2
,
⋯
,
η
r
\\eta_{1}, \\eta_{2}, \\cdots, \\eta_{\\mathrm{r}}
η1,η2,⋯,ηr 线性无关;
2)（1）的任一解向量 可由 η 1 , η 2 , ⋯ , η r \\eta_{1}, \\eta_{2}, \\cdots, \\eta_{\\mathrm{r}} η1,η2,⋯,ηr 线性表出.
则称 η 1 , η 2 , ⋯ , η r \\eta_{1}, \\eta_{2}, \\cdots, \\eta_{r} η1,η2,⋯,ηr 为（1）的一个基础解系.
基础解系存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于 n − r , r ∈ R ( A ) n-r, r \\in R(A) n−r,r∈R(A)
例1 求齐次线性方程组
{
x
1
+
x
2
−
x
3
−
x
4
=
0
2
x
1
−
5
x
2
+
3
x
3
+
2
x
4
=
0
的基础解系.
7
x
1
−
7
x
2
+
3
x
3
+
x
4
=
0
\\left\\{\\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=0 \\text { 的基础解系. } \\\\ 7 x_{1}-7 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=0\\end{array}\\right.
⎩⎨⎧x1+x2−x3−x4=02x1−5x2+3x3+2x4=0 的基础解系. 7x1−7x2+3x3+x4=0
以上是关于线性方程组——线性方程组解的结构的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章