关于 求 曲面 短程线

Posted 2020-12-12 ksongking

我在 《二元函数 的 极值点 怎么求 ？》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13022641.html   里  提出了 曲面短程线方程组  和 曲面短程线微元方程组  。

 

曲面短程线方程组 是 n 元方程组，   数值方法 求解 的 计算量（时间复杂度） 太大，  简单的说，  是 指数级 的 那种  。

 

当然，  未来 也许 有 新的 、更快的 算法出现，  或者 计算机 的 计算速度 也 程 指数级 提高， 呵呵 。

 

不管怎么说，  总之，   n 元方程组 的 计算量 太大 的 话，   可以有一个 变通 的 方法 。  这个 方法 就是 使用  曲面短程线微元方程组  。

 

通过  曲面短程线微元方程组，    可以 从  P1 、P2 点 出发，  求 得 P3，  又根据  P2 、P3， 求得 P4，  又根据 P3 、P4， 求得 P5 ……  一直到  Pn，

将 P1, P2, P3 …… Pn  连起来 得到 的 折线  P1Pn  就是  P1 到 Pn 之间 节点数 为 n - 2 的 最短折线，   这里 的 节点数 没有 算 P1 、Pn 两个端点 。

当  n -> 无穷，  当然，   P1Pn   就 变成了 光滑曲线，  就是 短程线 。

 

当 给定 曲面 上 的 两点，  A 、B，  求 A B 间 的 短程线 时，  可以从 A 出发，  用 曲面短程线微元方程组  按  上述 的 步骤 作出 n 个点，  连成 一条  近似 的 短程线  。

但问题是，   这条线 不一定 会 通过 B，   又或者，  从 A 出发，  可以 选择 任意 一个 方向出发，  就是说，  A 之后的 第一个点  P1 决定了 整条线 未来 的 走向  。

 

所以，  实际的 做法 是，    可以 任意 选择 若干个 方向 从 A 出发，  就是说，  可以在 A 附近 选择 任意 若干个 点 作为  P1 ，

这样 可以画出  若干条 近似短程线，   看 哪几条 在 B 点 附近 通过，    选择 离 B 点 最近 的 那一条，   以 这一条 为 参考， 可以估计 出 从 A 点 向 哪个方向 出发（P1 点 选在 哪里）  会 让 画出 的 近似短程线  在 B 点 附近 通过， 且 和 B 点 越近，   以此评估，   再 画一轮，

第二轮 也是 会 画 若干条 近似短程线，  从中 又 选择 出 和 B 最近 的 那条，  重复上述过程，  可以再画 第三轮 、第四轮  ……

这样可以让 近似短程线 逼近 B 点，     近似短程线 在 B 点 附近通过，  和 B 的 距离 越近，  则 越接近 理论解，   也就是 精度越高 。

一般，   不用几轮，    就可以得到 足够精度 的 近似短程线 了 。

 

这个 方法 有 模拟 的 性质，   也是 一种 数值方法  。       有些时候，   这个方法 也可以 反过来 解 n 元方程组  。

 

这个方法 可以 称为   “微元曲线生长碰巧逼近法”，   又名 “微元曲线生长碰撞逼近法”   。    模拟绘制  最速降线 、球面短程线 等 都可以用 这个 方法 。  这个 方法  也是 一种 数值方法  。

 

这个方法 还可以 称为  “高阶方程 的 模拟碰撞 解法”，   又可称为  “n 元方程组 的 模拟碰撞 解法”    。

 

还可以 称为  “数值方法 之 模拟碰撞法” ，   又名  “数值方法 之 模拟碰巧法” ，   又名 “数值方法 之 碰撞巧解”，   又名  “数值方法 之 碰巧巧解”   。