关于在曲线曲面上积分的方法公式与技巧

Posted 2021-06-18 Eric2i

第一类曲线积分与第一类曲面积分

从命名分析：

第一类曲线曲面积分又被称为对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分，这也表明第一类积分实际上是将我们熟悉的定积分（一元定积分与二重积分）中积分区域限定在一定长度的曲线上或一点面积的曲面上。由于曲线与曲面是分段光滑的，被积函数在定义域上是对应足够连续的，这使得我们处理这类问题时关键问题是如何将弧长元素与面积元素转换为定积分中的\\(\\mathrm{d}x\\)与二重积分中的\\(\\mathrm{d} \\sigma\\).

计算公式：

1、关于第一类曲线积分
当使用参数方程描述三维曲线时，\\(\\Gamma: \\{x = x(t); y = y(t); z = z(t)\\}\\) \\(\\alpha \\leq t \\leq \\beta\\),
弧长元素: \\(ds = \\sqrt{x^{\'2}(t)+y^{\'2}(t)+z^{\'2}(t)}dt\\)
从而在指定区域上的第一类曲线积分可转换为，计算指定区间(\\(\\alpha \\leq t \\leq \\beta\\))上对一元被积函数\\(F(t) = f(x, y, z)\\)关于微元\\(ds = \\sqrt{x^{\'2}(t)+y^{\'2}(t)+z^{\'2}(t)}dt\\)的定积分问题。
2、关于第一类曲面积分：
当给定的曲面是关于\\(\\Sigma : z=z(x,y)\\)的显化表达式时，
面积元素\\(dS = \\sqrt{1 + z^{\'2}_x+z^{\'2}_y}d\\sigma\\)
从而在指定区域上的第一类曲面积分可转化为，计算指定区域(\\(D = Pri_{z=0}\\Sigma\\))上对二元被积函数\\(F(x, y) = f (x, y, z(x, y))\\)关于微元\\(dS = \\sqrt{1 + z^{\'2}_x+z^{\'2}_y}d\\sigma\\)的二重积分问题。

第二类曲线积分与第二类曲面积分

从命名分析：

第二类曲线曲面积分又被称为对坐标的曲线曲面积分，在实际问题上关于空间一点\\((x,y,z)\\in R^3\\)矢量函数\\(\\vec{A}(x,y,z)\\)沿着一定区域的积分结果。在数学上常常将该矢量\\(\\vec{A}\\)的对应分量表示为\\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\\)他们都是关于位置坐标的函数，从而第二类积分有五种形式，而辨别它们并相互转化十分重要。

计算公式：

第二类曲线积分：

1、直接计算：
当使用参数方程描述三维曲线时，有：\\(\\Gamma_{AB}: \\{x = x(t); y = y(t); z = z(t)\\}\\) \\(A:t_1, B:t_2\\)。
弧长元素: \\(ds = \\sqrt{x^{\'2}(t)+y^{\'2}(t)+z^{\'2}(t)}dt\\)
从而在指定区域上的第一类曲线积分可转换为，计算指定区间(\\(t: t_1 \\rightarrow t_2\\))上对一元被积函数\\(F(t) = f(x(t), y(t), z(t))\\)关于微元\\(ds = \\sqrt{x^{\'2}(t)+y^{\'2}(t)+z^{\'2}(t)}dt\\)的定积分问题。
2、化成第一类曲线积分:
化作第一类曲线积分时若被积函数变为常数，而积分区域为已知长度的曲线，则利用其物理意义极大简化运算！
3、Green公式 (对于坐标平面曲线)
\\(\\int_\\Gamma Pdx+Qdy = \\iint_D(\\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y})d\\sigma\\)
4、平面上对曲线积分与路径无关的四个等价条件：
这四个条件为计算第二类曲线积分提供了极大地便利：
(i) 当在积分区域内\\(\\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} = 0\\), 则对于AB间任意路径的第二类曲线积分可以用直线或折线代替。
(ii)当被积函数可被观察为\\(du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy\\)时，原第二类曲线积分存在牛顿莱布尼茨公式即为：\\(I = u(B) - u(A)\\)
(iii)当积分区域中存在无定义点，可用曲线\\(L\\)包围同一些点并使\\(L\\)的取向与\\(\\Gamma\\)相同，则有:\\(\\int_\\Gamma = \\int_L\\)
5、Stokes公式(对于三维空间曲线)
当三维的第二类曲线积分可以通过参数方程解决时，Stokes公式不是最佳方法。但当\\(\\Gamma = \\partial \\pi\\), \\(S(\\pi)|cos\\gamma| = S(D)\\), 且Stokes中被积函数恰为常数时Stokes有一定的优越性。

第二类曲面积分：

1、直接计算（注意符号）：
\\(\\iint_{\\Sigma} R(x,y,z)dxdy = \\iint_{D_xoy}R(x, y, z(x,y))sgn(\\frac{\\pi}{2} - \\gamma)d\\sigma\\)
2、化成第一类曲面积分:
化作第一类积分时若被积函数变为常数，而积分区域已知面积大小，则利用其物理意义极大简化运算！
3、高斯公式:
应当指出，利用高斯公式计算第二类曲面积分可以使直接计算中的二重积分更简明（因为不需要进行繁琐的投影与面的方程显化问题）,因此有时甚至增减曲面使得积分区域封闭从而利用高斯公式。当然增减的曲面常常选平行于坐标面的平面，从而使直接计算平面上的第二类曲面积分比较容易。

函数性质对于计算的简化