关于求解区间第k大的在线和离线做法

Posted 2021-01-10 lmlysklt

最近做了一道关于整体二分的题。

很开心地涉足了关于求区间第k大问题。

 

问题：给定序列，若干询问，求区间第k小。

第k大类推。

 

离线算法：

整体二分。

将所有询问离线下来，挂在区间右端点先。

对所有询问二分答案mid。

那么序列上的数就可以划分为两类了，一类小于等于mid，一类大于mid。

用树状数组维护一下。

接着处理询问，对于每个当前的询问判断是否合法，然后将询问划分为两边，一边答案小于等于mid的，一边是大于mid的。

看一下复杂度，每次答案的范围除以2，每次二分分别扫描一次序列和询问，总复杂度O(nlog(n)log(maxans)+qlog(n)log(maxans))

离散化可以变成O((n+q)log^2(n))

 

在线算法：

划分树。

每个节点存储一个序列，存储的元素就是原序列排序后对应区间的元素，只不过顺序与原序列一致。

设父亲节点为(l,r)。

左节点存储的是小于等于在父亲节点中排名为mid的数的mid-l+1个数。

右节点存储在父亲节点中而不在左节点中的剩下的数。

儿子节点中数的排布顺序与在父亲节点中数的相对顺序一致。

顺便记录一下每个非叶子节点的前i个数有多少个存进了左儿子，记为num[i]。

查询的时候，例如我们要查询的区间为(x,y)，当前节点对应的区间为(l,r)，x>=l且y<=r

我们先看该节点的num[y]-num[x-1]，如果小于k，那么说明我们要查询的第k小在右儿子中，改变一下查询的k，变为k-(num[y]-num[x-1])，进入右儿子；

否则就在左儿子啦，进入左儿子就好了。

看一下复杂度，建划分树的复杂度可以是O(nlog^2(n))，然而我们可以先弄出一个原序列的排序序列，就不需要每一层用排序去确定排名为mid的数了，变成了O(nlog(n))，每次询问也是一个log，所以总复杂度为O((n+q)log^(n))

 

这么说好像划分树完爆整体二分啊...人家还是在线的。

当然整体二分的空间是n级别的，划分树则需要nlogn

而且整体二分似乎可以处理带修改的情况。