关于同余方程解法

Posted 2020-12-05 yanshannan

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1221126

单个同余方程

求解形如(Axequiv B(mod M))的最小正整数解。

il void exgcd(re ll A,re ll B,re ll &D,re ll &x,re ll &y)
{
  if(!B) x=1,y=0,D=A;
  else exgcd(B,A%B,D,y,x,c),y-=(A/B)*x;
}
il void solve2()
{
  re ll A=atk[1],B=a[1],M=p[1],D,x,y,ysn,zsy;
  exgcd(A,M,D,x,y);//D=gcd(A,M)
  if(B%D) {puts("-1");return;}
  x=x*(B/D)%(M/D);
  printf("%lld
",x);
}

解释一下：
(Axequiv B(mod M))
(Ax=My+B)
(Ax+My=B)(正负号不重要）
于是就是解(Ax+My=B)这个不定方程。

根据斐蜀定理：(ax+by=c=k*gcd(a,b)(kin N^{*}))
所以必须(gcd(A,M)|B)，否则无解。
设(a>b)。
当(b=0,gcd(a,b)=a),所以此时(x=1,y=0)
当(a>b>0)时，设(ax_1+by_1=gcd(a,b),bx_2+(a mod b)y_2=gcd(b,a mod b))
根据欧几里德原理，则
(ax_1+by_1=bx_2+(a mod b)y_2)
即(ax_1+by_1=bx_2+(a-(a/b)*b)y_2=ay_2+bx_2-(a/b)*by_2)
对应得(x_1=y_2,y_1=x_2-(a/b)*y_2)

于是我们就可以一边求(gcd)一边解这个方程。
当然，注意到跑了(exgcd)后解出来的是(ax+by=gcd(a,b))
解同时乘上(c/gcd(a,b))即可。
注意到(x,y)的解不止一个，(x+=b/gcd(a,b),y-=a/gcd(a,b))后总是合法。（因为加减的都是(ab/gcd(a,b)))。
为了求最小正整数值，我们模这个值即可。

如果要把最后一步套路化，就是(D=gcd(A,B),x=z*(B/D)\%(M/D))

模数互质的同余方程组

用中国剩余定理（孙子定理）解决。
讲这玩意儿需要栗子。
在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以(3)余(2)），五五数之剩三（除以(5)余(3)），七七数之剩二（除以(7)余(2)），问物几何？”

首先，我们假设(n_1)是满足除以(3)余(2)的一个数。同样，我们假设(n_2)是满足除以(5)余(3)的一个数，(n_3)是满足除以(7)余(2)的一个数。

现在把(n_1+n_2+n_3)作为该问题最终解。
则依“两数相加则模数相加”：

• (n_1)除以(3)余(2)，且是(5)和(7)的公倍数。
• (n_2)除以(5)余(3)，且是(3)和(7)的公倍数。
• (n_3)除以(7)余(2)，且是(3)和(5)的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是对每一个方程，从其它所有模数公倍数中找出符合该方程的解，最终解就是这些解相加。

在求(n_1)，(n_2)，(n_3)时又用了一个小技巧，以(n_1)为例，并非从(5)和(7)的公倍数中直接找一个除以(3)余(2)的数，而是先找一个除以(3)余(1)的数，再乘以(2)。也就是找解时先求出公倍数模数下的逆元，再用逆元去乘余数。

找逆元和解单个同余方程一样。

模数不互质的同余方程

还是栗子。
有一同余方程组：
(xequiv b_1(mod m_1))
(xequiv b_2(mod m_2))
则(x=m_1x_1+b_1=m_2x_2+b_2)
如果解出特解(x‘)，则(x=x‘+k*lcm(m_1,m_2))。
则(xequiv x‘(lcm(m_1,m_2)))
这个方程的解就是整个方程组的解。