hdu 1573X问题（数论--拓展欧几里德 求解同余方程组的个数 模版题）

Posted 2020-08-19 konjac蒟蒻

题目：求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

解法：先同上题一样用拓展欧几里德求出同余方程组的最后一个方程 X=ax+b，再调整 x 来求得 X 的解的个数。一些解释请看下面的代码。

注意——每次联立方程后求最小正整数解，可以提高代码速度。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 
 8 int n,m;
 9 LL aa[12],bb[12];
10 
11 LL mabs(LL x) {return x<0?x:-x;}
12 LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
13 {
14     if (!b) {x=1,y=0; return a;}
15     LL d,tx,ty;
16     d=exgcd(b,a%b,tx,ty);
17     x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
18     return d;
19 }
20 int main()
21 {
22     int T;
23     scanf("%d",&T);
24     while (T--)
25     {
26       scanf("%d%d",&n,&m);
27       for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%I64d",&aa[i]);
28       for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%I64d",&bb[i]);
29       LL a,b,d,x,y;
30       bool ok=false;
31       a=aa[1],b=bb[1];
32       for (int i=2;i<=m;i++)
33       {
34         d=exgcd(a,aa[i],x,y);//ax-aa[i]y=bb[i]-b
35         if ((bb[i]-b)%d!=0) {ok=true;break;}
36         x=x*((bb[i]-b)/d);
37         
38         LL t=mabs(aa[i]/d);
39         x=(x%t+t)%t;
40         
41         b=a*x+b,a=a*aa[i]/d;//lcm(a,aa[i]);
42       }
43       if (ok) printf("0\n");
44       else
45       {
46         LL ans=(b%a+a)%a,cnt=0;//X=ax+b  此时的ans为X的最小非负整数解
47         if (ans>0 && ans<=n) cnt++;//若ans为合乎条件的X值才计入cnt
48         cnt+=(n-ans)/a;//除ans以外的X的解的个数
49         printf("%I64d\n",cnt);
50       }
51     }
52     return 0;
53 }