同余方程组求解！

Posted 2023-02-27

原方程组等价于x=6(mod11)
,x=3(mod
8),x=11(mod4)
,x=11(mod
5）
注意到x=3(mod
8)是x=11(mod4)的解的真子集，故等价于
x=6(mod11)
,x=3(mod
8),x=11(mod
5）
由于11,8,5两两互质，所以剩下的工作交给中国剩余定理
最后得到171是一个解，故通解为x=171(mod440)
一般结论：对于模不互质的情形，首先要检验，即任意两个有公约数的模对于最大公约数是否同余
如本题(8,20)=4,且3=11(mod4)，符合
其次，列出等价同余方程组，其原则为所有的模数分解质因子为标准形，然后取每个质因子的最高次幂，并写出相应同余方程
本题，11是质数，8=2^3,20=2^2*5,因此模数分别取11,8,5对应同余方程为
x=6(mod11)
,x=3(mod
8),x=11(mod
5）
最后，由于每个同余方程的模取自不同质数的幂，故互质，所以用中国剩余定理...原方程组等价于x=6(mod11)
,x=3(mod
8),x=11(mod4)
,x=11(mod
5）
注意到x=3(mod
8)是x=11(mod4)的解的真子集，故等价于
x=6(mod11)
,x=3(mod
8),x=11(mod
5）
由于11,8,5两两互质，所以剩下的工作交给中国剩余定理
最后得到171是一个解，故通解为x=171(mod440)
一般结论：对于模不互质的情形，首先要检验，即任意两个有公约数的模对于最大公约数是否同余
如本题(8,20)=4,且3=11(mod4)，符合
其次，列出等价同余方程组，其原则为所有的模数分解质因子为标准形，然后取每个质因子的最高次幂，并写出相应同余方程
本题，11是质数，8=2^3,20=2^2*5,因此模数分别取11,8,5对应同余方程为
x=6(mod11)
,x=3(mod
8),x=11(mod
5）
最后，由于每个同余方程的模取自不同质数的幂，故互质，所以用中国剩余定理得到一个特解，从而得到通解 参考技术A 这类同余题目可用中国剩余定理来解，定理就不搬过来了，网上随便找一大堆
我通俗说一下我的方法吧，以这道题为例
2，5，7，9为4个除数

1
2
3
4为4个余数
第一步：为每一个余数算一个基数出来，就先求其他几个除数的最小公倍数，这种题一般除数都是互素的，

直接乘起来就行了。然后在这个数的倍数的数列中找出，模这个除数余1的那个数，这个数就是基

数了。如对于x==1
mod
2，就是[5,7,9]=5*7*9=315
，数列就是315,630,945……
315就满足，所

以基数就是315。同理得到，5——126
7——540
9——280
第二步：用余数乘以对应的基数，再全部加起来，本题为3307
第三步：上一步的结果减去所有除数的最小公倍数直到最小，为所求
本题为3307-630*5=157
通解就为157+630t
（t=0,1……）