基础数论的一些名词和定理 [未完]

Posted 2020-12-04 qixingzhi

欧几里得算法

欧几里得算法用来快速求解两个数的最大公约数。

整除性

(a|b)表示(a)整除(b)，即(b)是(a)的倍数。

 

定理1：设(a,b,c)为整数，若(a|b, a|c)，则(a|(b+c))成立

证明： 设(b = sa,  c = ta（s,t为整数）)，则(b+c = sa + ta = a(s+t))，故(a | (b+c))

最大公约数

 (gcd(a, b))表示(a,b)的最大公约数。

最暴力的求解最大公约数的方法是枚举(a,b)的所有公约数，并取相同的最大的公约数。但很明显太浪费时间了。

 

欧几里得是怎么做的？

要求解(gcd(a,b))，通过不断求解$ gcd(b, a  \% b) $直到$ a \% b = 0 $时，取(b)作为答案。

代码实现：

int gcd(int a, int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

注意为什么不用判断(a)和(b)的大小？因为当(a < b)时$ a \% b $ == (a)

 

$ S(n,k)= sumlimits_{i=0}^kC_{n/p}^{i/p}*C_{n \%p}^{i \%p} mod p $