第二章 数论基础（未完）

Posted 2020-11-02 perfy576

1 整除性和带余除法

1.1 整除

设$a$,$b$均为正数，若存在整数$m$使得$a=m\times b$成立，则成为非零数$b$整除$a$,换而言之，若$b$除$a$没有余数，则认为$b$整除$a$.表示为$b|a$,同时也称为：$b$是$a$的一个引子。

（注意，小的能够整数大的。在用$|$表示的时候，小数在前，大数在后。$m$可正负数都可以，但是不能为0）

因此有如下性质：

1. 若$a|1$,则$a=\pm 1$
2. 若$a|b$且$b|a$,则$a=\pm b$
3. 若$a|b$且$b|c$,则$a|c$,例如$2|4$,$4|8$,那么$2|8$
4. 对于任意整数$m$,$n$,若$b|g$且$b|h$,那么$b|(m/times g+ n/times h)$,例如$3|6$,$3|9$,那么$3|(6n+9m)
5. 若$b|g$,那么就存在$g_1$，使得$g$可以表示为$g=b\times g_1$

1. 2 带余数除法

对于给定的任意一个正整数$n$和任意非负整数$a$，若用$n$除$a$,得到整数商$q$和整数余数$r$,则满足：
$a=q\times n +r$, $0 \le r \le n $且$q=\lfloor a|n \rfloor $
其中$\lfloor a|n \rfloor$表示向下取整,例如,$\lfloor 1.9 \rfloor = 1$。
称为带余除法。

2 最大公因子

欧几里得算法是数论中一个最基本的技巧，用于求两个正整数的最大公因子。

互素：如果两个整数只有一个整数的公因子$1$，称为互素

2.1 最大公因子

最大公因子必须是正数。

当$a=m\times b$时，称$b$是$a$的一个因子。
使用$d=gcd(a,c)$，称$d$为$a$和$b$的最大公因子。
定义$gcd(0,0)=0$,$gcd(a,0)=|a|$
如果$c$是$a$和$b$的最大公因子，那么$a$,$b$的所有因子都是$c$的一个因子。
例如$gcd(30,24)=6$,而$2$,$3$都是$24$和$30$的因子，并且也是$6$的因子。

因为要求最大公因子必须是正数，因此一般来说都是$gcd(|a|,|b|)$

2.1 欧几里得算法

欧几里得算法的步骤是：

1. 假设求$a$,$b$的最大公因子$d$,并且假设$0 \le b\le a$
2. 使用带余除法，$b$除$a$可以表示为：$a=b q_1 \times b + r_1$,$0 \le r_1 <b$
3. 当$r_1 =0$时，可知$b$整除$a$,且$a$中不存在比$b$大的因子了。 就比如 $gcd(18,6)$,18 \div 6 =3 $
4. 当$r_1 \neq 0 $ ,那么一定有$b|r_1$，因为：$d|a$且$d|b$，那么一定有$d|(a-q_1 \times b)$ .因此$gcd(a,b)=gcd(b,r_1 )$.

3 模运算 $mod$

如果$a$说是一个整数，$n$是一个正整数，那么我们定义$a \div n$的余数为 $a$ 模$n$。整数$n$称为模数。

$a=q\times n+ r$ ，$0 \leqr<n; q=\lfloor a \div n \rfloor$等价于 $a=\lfloor a \div n \rfloor \times n + (a   mod  n)$

3.1 同余性质

如果$(a mod  n = (b mod  n))$，则称整数$a$,$b$是模$n$同余的。可以表示为$a \equiv b(mod  n)$,其含义还有：$a(mod  b) = a\times (a  mod  b)$。其意思就是 $a$和$b$对$n$取模的结果相同

1. 若$n|(a-b)$，则$a \equiv b(mod  n)$.因此等价于：$a \equiv b \times (b mod  n)$
2. 若$a\equiv b(mod  n)$，则有$b \equiv a(mod  n)$ .对称？
3. 若$a\equiv b(mod  n)$，$b \equiv c(mod  n)$，则有$a \equiv c(mod n)$

3.2 模运算

运算符 $mod$ 将所有的整数映射到集合${0,1,2\ldots n-1}$.
模运算具有如下的性质：

1. $[(a mod  n)+(b mod \n)] mod  n=(a+b) mod  n$
2. $[(a mod  n)-(b mod \n)] mod  n=(a-b) mod  n$
3. $[(a mod  n)\times (b mod \n)] mod  n=(a\timesb) mod  n$

也就是说除了除法以外都满足结合律。但是注意，不是简单的结合律！

加法逆元：就是相反数
乘法逆元：乘法逆元，是指数学领域群$G$中任意一个元素$a$，都在$G$中有唯一的逆元$a‘$，具有性质$a×a‘=a‘×a=e$，其中$e$为该群的单位元。
例如：$4 \times X \equiv 1 mod  7$ 就是$4 \times X = 7\times k +1$

另外有如下的性质：

1. 满足加法和乘法交换律： $(w+x)  mod  n = (x+w) mod  n$,乘法也满足
2. 满足加法和乘法的结合律：$(x\times y\times z) mod \n n=(x\times (y\times x)) mod  n$
3. 满足分配律：$(x\times (y+z)) mod  n = (x\times y+x\times z) mod  n$
4. 单位元：加$0$或乘$1$不改变结果

剩余类，使用$[m]$表示一个集合,意思是该集合内所有的数(包含正负数)，对$n$取模的结果相同。

4 素数

或是质数
数论的核心是素数：当一个整数$p>1$,他的因子只有$\pm 1$和$\pm p$时，成这个数为素数.
任意一个数都可以分解为：$a=p_1^{a_1}+p_2^{a_2}+p_3^{a_3}+\dots +p_m^{a_m}$。也就是多个素数的成绩形式。
从这个角度来解释整除，其所含有的素数相同(次数可能不同)
从这个角度来解释最大公因子，则是两个数都含有的最大的那个素数。

5 费马定理和欧拉函数

5.1 费马定理

若$p$是素数，$a$是整数，且不能被$p$整除（a中不含素数$p$），那么：
$a^{p-1} \equiv 1( mod  p)$
就是说，对$p$取模，结果是1.
而更一般的形式是：
$a^{p} \equiv a( mod  p)$

5.2 欧拉函数

欧拉函数：$\phi(n)$只的是小于$n$且与$n$互素的正整数的个数。其中$\phi(1)=1$
因此，如果$p$是素数，那么$\phi(p)=p-1$：因为，素数与任何数都互素，而小于$p$的有$p-1$个
且，满足$\phi(p_1 \times p_1) = (p_1 -1)\times (p_2 -1)$.

对于任意两个互素的$p_1$和$p_2$,有：$p_1^{\phi(p_2)} \equiv 1( mod  p_1)$，其实是费马定理的特别形式，也就是说底数也是一个素数。
因此也可以表示为：$p_1^{\phi(p_2)+1} \equiv p_1 ( mod  p_2)$

6 素数测试

很多密码算法需要随机选取一个或是多个非常大的叔叔，因此需要一个能确定给定的大数是否是素数的方法。

跳过。

7 中国剩余定理

问题：找出所有的整数$x$,它们被$3$，$5$，$7$整除时余数分别为$2$，$3$，$2$，那所有解的形式为$23+105\times k$
// 定义：令$a=p_1 \times p_2 \times \dots \times \p_n$,其中因子$p_i$两两互素

中国余数定理的用途之一是：给出了是模$M$的大数运算转化为相对较小数的运算。