P1268 树的重量

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了P1268 树的重量相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树,其叶节点表示一个物种,两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在,一个重要的问题是,根据物种之间的距离,重构相应的“进化树”。

令N={1..n},用一个N上的矩阵M来定义树T。其中,矩阵M满足:对于任意的i,j,k,有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足:

1.叶节点属于集合N;

2.边权均为非负整数;

3.dT(i,j)=M[i,j],其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图,矩阵M描述了一棵树。

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树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M,它所能表示树的重量是惟一确定的,不可能找到两棵不同重量的树,它们都符合矩阵M。你的任务就是,根据给出的矩阵M,计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树,这棵树的总重量为15。

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输入输出格式

输入格式:

 

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-1行,给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线),矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

 

输出格式:

 

对于每组输入,输出一行,一个整数,表示树的重量。

 

输入输出样例

输入样例#1: 
5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0
输出样例#1: 
15
71

 

Solution:

  本题很有意思的思维题(话说期末考崩了啊,本来想数学拉分的,结果数学也炸了,好崩心态啊!滚粗搞竞赛!)。

  题意等价于给定一棵树的$n$个叶子节点之间的最短路径,且$d[i][j]+d[j][k]geq d[i][k]$,需要求出满足条件的树的边权和(我们不必在乎点具体所在位置,只需考虑长度的贡献)。

  首先不难想到的是当只有两个叶子节点时,显然答案为$d[1][2]$。

  而当$n==3$时,因为要满足标号节点均为叶子节点,所以多出的$3$号叶子节点必定只能由$G[1][2]$之间多出一条分枝相连,如图:

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  那么多出的分枝长度显然为$frac{d[1][3]+d[2][3]-d[1][2]}{2}$。

  当$n==4$时,还是得满足均为叶子节点的限制,所以多出的节点显然只能在$G[1][2]$或$G[1][3]$或$G[2][3]$这三条分枝上再接一条分枝与$4$相连,如图:

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  容易发现,此时多出的长度为$min(frac{d[1][4]+d[2][4]-d[1][2]}{2},frac{d[1][4]+d[3][4]-d[1][3]}{2},frac{d[2][3]+d[3][4]-d[2][4]}{2})$。

  不难发现每次多出的$n$号节点,需要枚举在前$n-1$个节点互相之间的路径上多出分枝的情况,取最小值累加。

  那么实现时直接模拟就好了。

代码:

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 5 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
 6 using namespace std;
 7 int n,mp[31][31],ans,tp;
 8 
 9 il int gi(){
10     int a=0;char x=getchar();
11     while(x<0||x>9)x=getchar();
12     while(x>=0&&x<=9)a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar();
13     return a;
14 }
15 
16 int main(){
17     while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n){
18         For(i,1,n-1) For(j,i+1,n) mp[i][j]=mp[j][i]=gi();
19         ans=mp[1][2];
20         For(i,3,n){
21             tp=0x7fffffff;
22             For(j,1,i-1) For(k,1,j-1)
23                 tp=min(tp,(mp[j][i]+mp[k][i]-mp[j][k])>>1);
24             ans+=tp;
25         }
26         printf("%d
",ans);
27     }
28     return 0;
29 }

 

以上是关于P1268 树的重量的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

p1268 树的重量

P1268 树的重量构造

p1268树的重量 题解

[枚举]Luogu P1268 树的重量

创建一个叫做机动车的类: 属性:车牌号(String),车速(int),载重量(double) 功能:加速(车速自增)减速(车速自减)修改车牌号,查询车的载重量。 编写两个构造方法:一个没有(代码片段

按要求编写Java应用程序。 创建一个叫做机动车的类: 属性:车牌号(String),车速(int),载重量(double) 功能:加速(车速自增)减速(车速自减)修改车牌号,查询车的载重量(代码片段