线段树基础

Posted 2020-12-01 adelalove

一，什么是线段树

线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间划分成一些单元区间

每个单元区间对应线段树中的一个叶结点

将[1,n]分解成若干特定的子区间(数量不超过4*n)

用线段树对“编号连续”的一些点，进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是O(log2(n))

用线段树统计的东西，必须符合区间加法，

也就是说，如果已知左右两子树的全部信息，比如要能够推出父节点

否则，不可能通过分成的子区间来得到[L,R]的统计结果

一个问题，只要能化成对一些“连续点”的修改和统计问题，基本就可以用线段树来解决了

解决问题时常会用到离散化

 由上图可知，每个节点的左孩子区间范围为[l，mid]，右孩子为[mid+1,r]

对于结点k，左孩子结点为2*k(k<<1)，右孩子为2*k+1(k<<1|1)

 二，线段树的一些操作

每个人的代码风格不一样，也可以写成结构体，我习惯写数组，结构体的写法和指针的写法网上有，请自行搜索

 1.以线段树求和为例 题目https://www.cnblogs.com/adelalove/p/8683924.html

首先是建树

a、对于二分到的每一个结点，给它的左右端点确定范围。

b、如果是叶子节点，存储要维护的信息。

 c、状态合并。

 1 void build(ll o,ll l,ll r)
 2 {
 3     if(l==r)
 4     {
 5         sum[o]=a[l];
 6         return;
 7     }
 8     ll mid=(l+r)>>1;
 9     build(o<<1,l,mid);
10     build(o<<1|1,mid+1,r);
11     sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1|1];
12 }

View Code

然后查询  

查询某个区间的和

与二分查询法基本一致，如果当前枚举的点左右端点相等，即叶子节点，就是目标节点。

如果不是，因为这是二分法,所以设查询位置为x，当前结点区间范围为了l，r，

中点为mid，则如果x<=mid，则递归它的左孩子，否则递归它的右孩子。

 1 ll query(ll o,ll l,ll r,ll x,ll y)
 2 {
 3     if(x<=l && y>=r)
 4     {
 5         down(o,l,r,(l+r)>>1);
 6         return sum[o];
 7     }
 8     ll mid=(l+r)>>1;
 9     down(o,l,r,mid);
10     ll tot=0;
11     if(x<=mid)tot+=query(o<<1,l,mid,x,y);
12     if(y>mid)tot+=query(o<<1|1,mid+1,r,x,y);
13     return tot; 
14 }

View Code

区间修改

给某个区间加上某个值

重点：我们进行这个操作的时候不可能一个点一个点的改（太慢了），那怎么办呢？

我们引入一个新的状态——懒标记。

作用：存储到这个节点的修改信息，暂时不把修改信息传到子节点。你用的时候才给你，不用不给你。

实现思路（重点）：

a.增加新的变量，存储这个懒标记。

b.递归到这个节点时，只更新这个节点的状态，并把当前的更改值累积到标记中。

注意是累积，可以这样理解：过年，很多个亲戚都给你压岁钱，但你暂时不用，所以都被你父母扣下了。

c.什么时候才用到这个懒标记？当需要递归这个节点的子节点时，标记下传给子节点。

这里不必管用哪个子节点，两个都传下去。就像你如果还有妹妹，父母给你们零花钱时总不能偏心吧

d.下传操作：

①当前节点的懒标记累积到子节点的懒标记中。

②修改子节点状态。即子节点继承父亲节点的标记

③父节点懒标记清0。这个懒标记已经传给子节点了，父节点的就没必要存在了。

 1 void down(ll o,ll l,ll r,ll mid)
 2 {
 3     if(add[o])
 4     {
 5         add[o<<1]+=add[o];
 6         sum[o<<1]+=add[o]*(mid-l+1);
 7         
 8         add[o<<1|1]+=add[o];
 9         sum[o<<1|1]+=add[o]*(r-(mid+1)+1);
10         
11         add[o]=0;
12     }
13 }

标记下放

 1 void up(ll o,ll l,ll r,ll x,ll y,ll k)
 2 {
 3     if(x<=l && y>=r)
 4     {
 5         add[o]+=k;
 6         sum[o]+=k*(r-l+1);
 7         return;
 8     }
 9     ll mid=(l+r)>>1;
10     down(o,l,r,mid);
11     if(x<=mid)up(o<<1,l,mid,x,y,k);
12     if(y>=mid+1)up(o<<1|1,mid+1,r,x,y,k);
13     sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1|1];
14 }

区间加法