1.1 线段树的基础操作
Posted ray-dexter
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了1.1 线段树的基础操作相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
本篇对应的是luogu的线段树1
概况：
如下图就是一棵线段树，线段树上的每一个点记录的都是一个区间，所以线段树支持对于区间和点的动态操作，可以在线查询和更改区间上的最值，求和等
时间复杂度：O(n)
使用线段树的情况：
满足区间加法：已知左右两子树的全部信息，一定能够推出父节点
线段树维护的内容根据题目的要求而定
线段树的分类：
根据题目中对于查询和修改区间的不同要求，大致将线段树分为三类：
problem1：单点修改，单点查询
problem2：区间修改，单点查询
problem3：区间修改，区间查询
思路：
思路+代码阅读（注：不同题目线段树维护的内容不同，这里给出区间和写法，如果要维护其他内容，只需把下面所有提及sum的内容更改为新的转移方程即可）：
001：建立线段树 利用二分，不断维护最终要求的值，返回条件为找到叶节点O(n)
//构造一棵a1-an的线段树 调用build_xdtree(1,1,a)
void build_xdtree(int o,int l,int r){
//o是当前这段区间的点编号， sum[o]用于记录区间和，l是左节点，r是右节点
if(r==l){ //如果已经找到叶节点，它的区间和就是它自己的值
sum[o]=a[l]; //a[l]用于记录每个点本身的值
return; //找到叶节点，返回
}
int mid=(l+r)>>1; //从中间二分
build_xdtree(o<<1,l,mi); //分别build它的左右节点
build_xdtree(o<<1+1,mid+1,r);
sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1+1]; //它的区间和即左右区间和的和
}
002：PROB1 单点修改和单点查询
单点修改：O(log2(n))
从根节点开始找，判断x在左右子树
最后更新被影响到的值（和建树相同），条件为叶节点（x）
//线段树点的更新 如果更新a[x]=y
void uponedate(into,intl,intr,intx,int y){
if(l==r){ //找到根节点，也就是x
sum[o]=y;//更新根节点为新的y
return; //返回
}
int mid=(l+r)>>2;
if(x<=mid){ //如果x在o的左子树里
update(o<<2,l,mid,x,y); //在左子树里继续找，右子树的值不受影响
}
else update(O<<2+1,mid+1,r,x,y);
//反之在右节点里更新 左节点的值不受影响
sum[o]=sum[o<<2]+sum[o<<2+1];
//更新sum[o]的值为更新过后的左右子树之和
}
单点查询：O(log2(n))
从根节点开始找，终止条件为覆盖区间，分别判断左右子树有没有包含区间一部分
//在只修改点情况下线段树的查询区间ax-ay ans用于记录结果
void onequery(int o,int l,int r,int x,int y){
if(x<=l&&y>=r){//思考：为什么这样写
ans+=sum[o];//对于覆盖区间[l,r]的[x,y],ans直接加上[l,r]的sum
return;//实际上就等同于找到了完全相等的区间，可以不用向下搜了
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid){ //如果有一部分在[l,r]的左子树里，就在左子树里搜索
query(o<<1,l,mid,x,y)
}
if(y>mid){ //如果有一部分在[l,r]的右子树里，就在右子树里搜索
query(O<<1+1,mid+1,r,x,y);
}
}
003：lazy_tag（重点）
对于区间的修改，可以定义一个lazytag，给这个区间打上标记来代替直接对它进行操作，那么在读取或进行其他操作的时候就可以一起读出lazytag，优化了时间复杂度，注意：假设a[o]有一个大小为k的tag，意味着它的子节点都欠着一个tagk没有加。但是a[o]不欠，它的值在调用更改函数时（或者由它的父亲传下来时），就已经更新过了。所以对于a[o]而言，决定它大小的是它的父亲的tag。
push up： 读完tag之后，所有的儿子会更新它的数值（可能是最值、区间和等），那么他们的父亲也会随之更新数值，所以在所有的递归改变了儿子之后，都要调用pushup来更新父亲
// 如果一个子节点加了x，那么它的父节点也要加上x 在每次递归完左右儿子后调用
void pushup(int o){
sum[o]=sum[o<<2]+sum[o<<2+1];
}
push down：父亲节点的tag会对子节点的数值造成影响，所以在所有的递归儿子之前，为了准确计算儿子的值，都要把父亲的tag传递给它的子节点，并更新子节点的值，同时可以清除父亲的tag，因为他的子节点更新了
// 将父节点的tag进行下传 在每次递归左右儿子前调用
void pushdown(int o,int l,int,r,int mid){
if(tag[o]){//如果父节点的tag不为0
tag[o<<1+1]+=tag[o];//子节点可能会多次更新tag
tag[o<<1]+=tag[o];//下传 为了不影响tag的添加
sum[o<<1]+=tag[o]*(mid-l+1);//节点长度
sum[o<<1+1]+=tag[o]*(r-mid+1); //更新sum的值
tag[o]=0;//父节点的tag都下传了 所以更新为0
}
}
004：PROB2 区间修改和区间查询
区间修改：
从根节点开始，找到覆盖就打tag，更新值，返回
下传tag，分别判断左右子树有没有包含区间一部分来递归，更新父节点
//线段树的区间修改 修改内容为ax—ay都加v
void update(int o,int l,int r,int x,int y,int v){//当前搜索到的点
if(x<=l&&y>=r){//如果[x,y]覆盖了当前找到的[l,r]
tag[o]+=v;//给区间[l,r]打上tag，那么就不用再找他的孩子
sum[o]+=(r-l+1)*tag[o];//前面说过，此时要更新sum[o]的值
return ;//不用找它的孩子，直接返回
}
else{ //开始遍历左右子树
pushdown(o,l,r,(l+r)>>1);
//遍历前先下传tag，如果不传，它的子节点就还欠债，计算的值就有错误
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid){ //如果左子树里有[x,y]的一部分
update(o<<1,l,mid,x,y,v);
}
if(y>mid){ //如果右子树里有[x,y]的一部分
update(o<<1+1,mid+1,r,x,y,v)
}
pushup(o);//在搜完左右节点以后，更新一下当前节点的信息
}
}
区间查询：
//线段树的查询区间ax-ay 直接返回
int query(int o,int l,int r,int x,int y){
if(x<=l&&y>=r){//如果[x,y]覆盖了[l,r]区间，[l,r]区间的值就是答案的一部分
return sum[o];//因为是int型，直接返回[l,r]的值，不需要向下搜了
}
else{
pushdown(o,l,r,(l+r)/2);//涉及到子节点的值，先打tag
int mid=(l+r)>>1;
int ans=0; //记录答案
if(x<=mid){ //如果有一部分在[l,r]的左子树里
ans+=query(o<<1,l,mid,x,y)
}
if(y>mid){ //如果有一部分在[l,r]的右子树里
ans+=query(o<<1+1,mid+1,r,x,y);
}
return ans; //最后不需要更新父节点，因为没有改变子节点的大小
}
}
005 整理
思考：
001 线段树的结构，可以解决的问题类型，时间复杂度
002 如何建立一棵线段树呢
003 在写所有关于点的函数时，他们有什么共同点和不同点
比如：定义内容，终止条件，更新内容，分类标准，更不更新父节点
004 在写所有关于区间的函数时，他们有什么共同点和不同点
比如：定义内容，终止条件，更新内容，分类标准，下传tag，更不更新父节点
回忆上面内容中标红（细节）和下划线的地方（结构），尝试还原算法
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第一版：2019-10-02
以上是关于1.1 线段树的基础操作的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章