广义二项级数 / 指数级数

Posted 2023-05-31 gtm1514

你说的对，但是自从我那天贺了个广义二项级数题之后就再也没动过这个，冲了若干 AGC。

Rainybunny 老师博客有这么一句话：

学拉格朗日反演不学广义二项级数, 就像读四大名著不读红楼梦. 说明这个人文学造诣和自我修养不足, 他理解不了这种内在的阳春白雪的高雅艺术, 他只能看到外表的辞藻堆砌, 参不透其中深奥的精神内核, 他整个人的层次就卡在这里了, 只能度过一个相对失败的人生。

佐证了我多项式没入门的观点。

广义二项级数

广义二项级数定义为

\\[\\mathcal B_t(z)=\\sum_n\\ge 0\\binomtn+1n\\fracz^ntn+1 \\]

然后一些恒等式。

\\[\\mathcal B_t(z)=1+z\\mathcal B_t(z)^t \\]

证明简单拉反不多说。好像这玩意也叫 Fuss-Catalan 数。

容易发现这玩意就是无标号有根 \\(t\\) 叉树的生成函数。不容易发现这玩意也是 \\(k-1\\) Dyck 路的生成函数。

上边的一个推广是

\\[\\mathcal B_t(z)^r=\\sum_n\\ge 0\\binomtn+rn\\frac rtn+rz^n \\]

同样可以按着嗯拉反。

然后是第三个牛逼式子：

\\[\\frac\\mathcal B_t(z)^r1-t+t\\mathcal B_t(z)^-1=\\sum_n\\ge 0\\binomtn+rnz^n \\]

这玩意不是很显然。zak 说另类拉反更好做，确实。设 \\(F(z)=\\mathcal B_t(z)-1\\)，则有复合逆 \\(G(z)=\\dfrac z(1+z)^t\\)。构造 \\(H(z)=\\dfrac(1+z)^r1-t+t(1+z)^-1\\)，则有

\\[\\beginaligned [z^n]H(F(z))=&[z^n]H(z)\\left(\\frac zG(z)\\right)^n+1G\'(z)\\\\ =&[z^n]\\frac(1+z)^r1-t+t(1+z)^-1(1+z)^tn+t\\frac(1+z)^t-tz(1+z)^t-1(1+z)^2t\\\\ =&[z^n]\\frac(1+z)^r+11+z-tz(1+z)^tn+t\\frac1+z-tz(1+z)^t+1\\\\ =&[z^n](1+z)^tn+r\\\\ =&\\binomtn+rn \\endaligned \\]

组合意义好玄学，不会。会的教我。

小小练习：算

\\[\\sum_i\\ge 0\\frac 12^n+2i(n+2i)\\binomn+2ii \\]

答案是 \\(\\dfrac 1n\\)。那我们得到实际上 \\(B_2(z)\\) 就是卡特兰数，和之前的结果相同。

例题：Gym102978C Count Min Ratio。题解

广义指数级数

广义指数级数定义为

\\[\\mathcal E_t(z)=\\sum_n\\ge 0(tn+1)^n-1\\fracz^nn! \\]

接着摆恒等式：

\\[\\mathcal E_t(z)^-t\\ln\\mathcal E_t(z)=z \\]

仍然简单拉反。

仍然是和上边第二个长的差不多：

\\[\\mathcal E_t(z)^r=\\sum_n\\ge 0r(tn+r)^n-1\\fracz^nn! \\]

同样可以拉反。但值得一提的是具体数学说

\\[\\mathcal E_t(z)=\\lim_x\\to\\inftyB_xt(\\frac zx)^x \\]

证明考虑使用一个引理：

\\[\\lim_x\\to infty\\binomxnkx^-k=\\fracn^kk! \\]

证明直接把组合数爆拆开。然后用这个东西把广义二项级数通项化一下爆推一顿发现是左边的形式。很奇妙。

第三个是

\\[\\frac\\mathcal E_t(z)^r1-zt\\mathcal E_t(z)^t=\\sum_n\\ge 0(tn+r)^n\\fracz^nn! \\]

证明同样另类拉反，照葫芦画瓢。设 \\(F(z)=\\ln\\mathcal E_t(z)\\)，则复合逆 \\(G(z)=\\dfrac ze^tz\\)。同样构造 \\(H(z)=\\dfrace^rz1-tz\\)，使用另类拉反即可得到结论。过程不给了。

xYix 老师给了神奇的组合意义证明，同样不会。摆大烂。不由得思考 joke3579 在多项式的时候我在干什么。

应用找不到，我寻思着反正这玩意我也用的不熟练。

快踩

简单粗暴傅里叶级数

简单粗暴傅里叶级数

楠木
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文章目录

• 简单粗暴傅里叶级数
• • • • • • 为什么写本文？
          • 为什么给文章取这个名字？
          • 鸣谢
  • 一、预备知识
  • • 1.欧拉公式
    • 2.复指数的周期性
    • 3.复指数的积分
  • 二、傅里叶级数
  • • 1.定理的必要性
    • 2.如何理解？
    • 3.为什么要这样分解？
  • 三、傅里叶级数的性质
  • • 1.线性性
    • 2.时移
    • 3.时间伸缩
    • 4.时间反褶
    • 5.微分性质
    • 6.实信号
    • 7.奇偶性
    • 8.帕斯瓦尔定理

为什么写本文？

  我是电信专业的。对于这个专业来讲，傅里叶级数和傅里叶变换这部分知识太重要了。我在大一学微积分时，对这部分内容就有点懵，基本上是靠死背公式糊弄过去的。现在到了大二，傅里叶反复出现在《复变函数》、《信号与系统》、《数理方程》等课程中。我意识到必须把它弄懂了。
  网络上有很多关于傅里叶级数的文章。其阐述角度，思路都令人耳目一新。唯一的缺点是，大部分的文章都只从sin x和cos x两个实函数来讲傅里叶级数。私以为，对于工程领域，复指数形式的傅里叶级数才是真正的精髓。本文将从傅里叶级数的复指数形式出发。
  综上原因，我写下此文。
  有任何问题欢迎前辈们指正。

为什么给文章取这个名字？

  前段日子拜读过某pku学霸的《简单粗暴 TensorFlow》。这篇教程，是不可多得的 TensorFlow 中文好教程。为了向这篇教程的作者致敬，我给这篇文章取这个名字。

鸣谢

  特别感谢我的好友兼偶像，华中科技大学物理学院的黄晨同学给本文校对。

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一、预备知识

1.欧拉公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
  欧拉是这样证明它的。
  由指数函数的麦克劳林展开式，有：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}...$$
  将其中的$x$换成$ix$，就得到：
$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}...$$
$$=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}...=\cos \theta +i\sin \theta$$
  得证。
  证明看起来很完美，但是有一个小问题——麦克劳林展开的对象是实函数，当带上虚数单位$i$后能这样展开吗？
  这种证明是不严谨的。事实上，欧拉公式是复指数函数定义的推论。
  复分析中定义复指数函数如下：
$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$
  由这个定义，欧拉公式显然成立。
  下面是一本教材中的内容。可以看出欧拉公式其实是这个定义的推论，而不是证明出来的。

2.复指数的周期性

  在实数域，指数函数没有周期性，而在复数域，它有周期性。
  从上述指数函数的定义，显然有：
$$e^z=e^{z+2\pi i}$$
  周期为$2\pi i$。

3.复指数的积分

  我们考虑这样一个指数为纯虚数的复指数：
$$e^{i(m-n)\omega t}$$
  其中，$m$和$n$是整数，$\omega$是常数，$t$是自变量。
  当它在一个周期内积分时，有：
$${\int }_T{e}^{i(m-n)\omega t}\mathrm{d}t={\int }_T\cos [(m-n)\omega t]\mathrm{d}t+i{\int }_T\sin [(m-n)\omega t]\mathrm{d}t$$
  显然，如果$m\ne n$，由于三角函数在周期内积分值为$0$，那么最终结果就是$0$。
  如果$m=n$，结果为${\int }_T\cos 0\mathrm{d}t=T$ 。
  事实上，这就是三角函数的正交性。

二、傅里叶级数

1.定理的必要性

  在工程上，虚数单位$i$写作$j$ 。
  对于周期为$T$,角频率$\omega =\frac{2\pi }{T}$的函数$f(t)$，不妨假设它可以展开成复指数级数(?)：
$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk\omega t}$$
  接下来，我们来确定系数