简单粗暴傅里叶级数

Posted 2023-02-08 楠木_

简单粗暴傅里叶级数

楠木
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文章目录

• 简单粗暴傅里叶级数
• • • • • • 为什么写本文？
          • 为什么给文章取这个名字？
          • 鸣谢
  • 一、预备知识
  • • 1.欧拉公式
    • 2.复指数的周期性
    • 3.复指数的积分
  • 二、傅里叶级数
  • • 1.定理的必要性
    • 2.如何理解？
    • 3.为什么要这样分解？
  • 三、傅里叶级数的性质
  • • 1.线性性
    • 2.时移
    • 3.时间伸缩
    • 4.时间反褶
    • 5.微分性质
    • 6.实信号
    • 7.奇偶性
    • 8.帕斯瓦尔定理

为什么写本文？

  我是电信专业的。对于这个专业来讲，傅里叶级数和傅里叶变换这部分知识太重要了。我在大一学微积分时，对这部分内容就有点懵，基本上是靠死背公式糊弄过去的。现在到了大二，傅里叶反复出现在《复变函数》、《信号与系统》、《数理方程》等课程中。我意识到必须把它弄懂了。
  网络上有很多关于傅里叶级数的文章。其阐述角度，思路都令人耳目一新。唯一的缺点是，大部分的文章都只从sin x和cos x两个实函数来讲傅里叶级数。私以为，对于工程领域，复指数形式的傅里叶级数才是真正的精髓。本文将从傅里叶级数的复指数形式出发。
  综上原因，我写下此文。
  有任何问题欢迎前辈们指正。

为什么给文章取这个名字？

  前段日子拜读过某pku学霸的《简单粗暴 TensorFlow》。这篇教程，是不可多得的 TensorFlow 中文好教程。为了向这篇教程的作者致敬，我给这篇文章取这个名字。

鸣谢

  特别感谢我的好友兼偶像，华中科技大学物理学院的黄晨同学给本文校对。

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一、预备知识

1.欧拉公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
  欧拉是这样证明它的。
  由指数函数的麦克劳林展开式，有：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}...$$
  将其中的$x$换成$ix$，就得到：
$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}...$$
$$=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}...=\cos \theta +i\sin \theta$$
  得证。
  证明看起来很完美，但是有一个小问题——麦克劳林展开的对象是实函数，当带上虚数单位$i$后能这样展开吗？
  这种证明是不严谨的。事实上，欧拉公式是复指数函数定义的推论。
  复分析中定义复指数函数如下：
$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$
  由这个定义，欧拉公式显然成立。
  下面是一本教材中的内容。可以看出欧拉公式其实是这个定义的推论，而不是证明出来的。

2.复指数的周期性

  在实数域，指数函数没有周期性，而在复数域，它有周期性。
  从上述指数函数的定义，显然有：
$$e^z=e^{z+2\pi i}$$
  周期为$2\pi i$。

3.复指数的积分

  我们考虑这样一个指数为纯虚数的复指数：
$$e^{i(m-n)\omega t}$$
  其中，$m$和$n$是整数，$\omega$是常数，$t$是自变量。
  当它在一个周期内积分时，有：
$${\int }_T{e}^{i(m-n)\omega t}\mathrm{d}t={\int }_T\cos [(m-n)\omega t]\mathrm{d}t+i{\int }_T\sin [(m-n)\omega t]\mathrm{d}t$$
  显然，如果$m\ne n$，由于三角函数在周期内积分值为$0$，那么最终结果就是$0$。
  如果$m=n$，结果为${\int }_T\cos 0\mathrm{d}t=T$ 。
  事实上，这就是三角函数的正交性。

二、傅里叶级数

1.定理的必要性

  在工程上，虚数单位$i$写作$j$ 。
  对于周期为$T$,角频率$\omega =\frac{2\pi }{T}$的函数$f(t)$，不妨假设它可以展开成复指数级数(?)：
$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk\omega t}$$
  接下来，我们来确定系数