最短路总结

Posted 2023-05-24 V-sama

单源最短路

	Bellman-Ford	SPFA	Dijkstra	H-Dijkstra
思路	遍历全边，直到不变	宽搜渐进，入队再更	找最近点，更新邻点，找完不再用	取负入队，大根堆找点，其余相同
负边权	能	能	否	否
判负环	能	能	否	否
时间复杂度	O(nm)	O(km~nm)	O(m+n^2)	O(mlogn)
适用于	为什么不用SPFA	稀疏图	还是优化吧	非负边权
链接	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17422894.html	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17426721.html	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17426750.html	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17426844.html

基本上是H-Dijkstra>Dijkstra>SPFA>Bell-Ford

多源最短路

	Floyed	H-Dijkstra	Johnson
思路	动规三重循环	n次Dijkstra	虚拟结点，映射非负，H-Dijkstra
负边权	能	否	能
判负环	能	否	能
时间复杂度	O(n^3)	O(nmlogn)	O(nm+nmlogn)
适用于	稠密图	非负边权	稀疏图
链接	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17429313.html	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17426844.html	https://www.cnblogs.com/V-sama/p/17429389.html

最短路问题常用算法总结和模板

1.Dijkstra 算法

      Dijkstra算法适用于边权为正的情况。

      用于计算正权图上的单源最短路（Single-Source Shortest Paths，SSSP）。所谓单源最短路即从单个源点出发，到所有结点的最短路。

      算法同时适用于有向图和无向图。

     伪代码：

    

 1 清除所有点的标点（有的话）
 2 设d[0]=0,其他d[i]=INF
 3 循环n次{
 4     在所有未标号结点中，选出d的最小的结点x
 5     给结点x标号
 6     对于从x出发的所有边(x,y)，更新d[y]=min{d[y],d[x]+w[x][y]]}
 7 }
 8 //程序
 9 memset(v,0,sizeof(v));
10 for(int i=0;i<n;i++) d[i]=(i==0?0:INF);
11 for(int i=0;i<n;i++) {
12     int x,m=INF;
13     for(int y=0;y<n;y++) if(!v[y]&&d[y]<=m) m=d[x=y];
14     v[x]=1;
15     for(int y=0;y<n;y++) d[y]=min(d[y],d[x]+w[x][y]);
16 }
17 //路径打印==动态规划方案打印
18 if(d[y]>d[x]+w[x][y]) {
19     d[x]=d[x]+w[x][y];
20     fa[y]=x;
21 }//替换d[y]=min(d[y],d[x]+w[x][y]),边的松弛操作