数学分析（三） 关于x连续,关于y满足Lipschitz条件

Posted 2023-04-27

设f(x,y)在区域D(D是R^2中的)中关于x连续，关于y满足Lipschitz条件（一致连续）。即存在常数L，使得f(x,y')-f(x,y'') 的绝对值小于等于 L乘以 y'-y'' 的绝对值。对于任意的(x,y')，(x,y'')属于D都成立。证明：f(x,y)在D中连续。

考虑定义在零到一区间上的函数，f(x)=√x。

由定义可直接验证f绝对连续，但f的导数无界，从而不是Lipschitz的。

实际上，定义在闭区间上的函数是绝对连续的等价于它可以写成一个L1可积函数的定积分，它是Lipschitz连续的等价于它可以写成一个L无穷（即本性有界函数）的定积分。

扩展资料

在数学中，特别是实分析，lipschitz条件，以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件，一种特殊的利普希茨连续。

参考技术A 直接按定义证明就行了，没什么难度，这种东西要自己动手算。

关于[x/y]一些小想法

[x/y]，即x除以y下取整

(不会LATEX）

1.对于给定的x，对于所有的1<=y<=x，

[x/y]一共有√x种取值。

证明：

对于y<=√x,y有根号种，所以值最多根号种。对于y>√x，[x/y]<√x, 最多有根号种。

这种思想在根号分块处理的时候也很常见。

 

（必备技能:）

√x求[x/y]的和。

小于√x暴力枚举y。

大于√x，值只有√x中，所以暴力枚举[x/y]的值k，

等于k的区间长度就是，[x/(k-1)]+1 ~ [x/k]，可以计算。

[x/y]再乘个什么数，也可以考虑转化成[x/y]的和，再计算。

 

2.数论分块。

不会留坑。

 

3.哪里会用到[x/y]呢？

反演（我不会）

a%b=a-[a/b]*b

可以考虑。尤其在之前出现类似的[a/b]时

在exgcd证明，裴属定理证明也用到过。

毕竟a%b不这么处理怎么办？

 

例题：9.10模拟赛T1mmt

 

4.如果我们要枚举连续的一些x,

假如y是固定的，[x/y]的值会发生变化，

当且仅当，x是y的倍数时，在x位置会比之前大1

所以，还有的启发是：若x|y,那么对于z∈(x~x+y-1),[z/y]=[x/y]

可以枚举y的倍数，在O（up/y）的时间内算出[x/y]的值。

如果y也从1~up，那总复杂度就是O(uplogup)的。

 

如果x不变，y从1~up，那就是上面的"必备技能”处理的了。

 

例题：EOJ 262 润清的烦恼

 

 

5.还有一个什么公式：[x/y/z]=[[x/y]/z]

可以直接根据[x/y]的定义，把x=[x/y]*y+x%y引入余数x%y=q

即可证明。