一元函数微分几何应用

Posted 2023-04-22 nanguahh

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一元函数微分几何应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

对于一个一元函数，在微分学上的几何讨论分为以下几个方面：

极值与单调性

最值或取值范围

凹凸性与拐点

渐近线

极值与单调性

单调性的概念就不说了，这里说一下单调性的判别，包括了定义法，微分学方法

定义法
- 单调增函数：\\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\\)
- 单调减函数：\\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\\)
微分学方法
- 单调增函数：\\(f\'(x)>0\\)
- 单调减函数：\\(f\'(x)<0\\)

极值的概念

极值的判别

极值可能在哪里取得？

一个点只有可导和不可导的情况，而费马定理告诉我们，当一个点可导且是极值点时，其导数一定为零，也就是驻点。由此知道，驻点可能是极值点；而对于不可导点，包括无定义点和四类间断点，无定义点一定不是极值点，而四类间断点都可能是极值点。最后对于端点，由于单侧无定义，因此端点也不可能是极值点。总结：极值点只可能在驻点和四类间断点取得。
对于某个点\\(x_0\\)，如何判断其是不是极值点？
- 如果\\(x_0\\)二阶可导（二阶可导说明一阶也可导），且\\(f\'(x_0)=0,f\'\'(x_0)\\neq 0\\)
  
  如果\\(f\'\'(x_0)<0\\)，则是极大值；如果\\(f\'\'(x_0)>0\\)，则是极小值；（结合后面凹凸性可以理解）
- 如果很不幸，\\(x_0\\)一阶不可导，但是它连续，并且去心领域内可导，那就如下判断：
  
  \\(x\\in(x_0-\\delta,x_0),f\'(x)<0;x\\in(x_0,x_0+\\delta),f\'(x)>0;\\)先减后增，是为极小值
  
  极大值同理
- 如果\\(x_0\\)很猛，n阶可导，可以类比第一条，有如下推论
  
  若\\(f\'(x_0)=f\'\'(x_0)=f\'\'\'(x_0)=...=f^n-1(x_0)=0\\),且\\(f^n(x_0)\\neq0\\)，则
  
  当n为偶数且\\(f^n(x_0)<0\\)，取得极大值
  
  当n为偶数且\\(f^n(x_0)>0\\)，取得极小值

最值的概念

对比极值的定义，可以看到它们的差别在于一个针对领域范围，一个针对定义域范围

最值的判别：

凹凸性判别：

拐点的判别：

拐点在哪里取得？

类比极值点，设\\(f\'\'(x)\\)存在，则在\\(f\'\'(x)=0\\)处取得。不讨论二阶导不存在的情况。
如何判别？
- 如果\\(x_0\\)处三阶可导，且\\(f\'\'(x_0)=0,f\'\'\'(x_0)\\neq0\\)，则为拐点
- 如果很可惜，三阶不可导，但是\\(f(x)\\)在\\(x_0\\)处连续，且去心领域内二阶可导；则如果\\(f\'\'(x_0)\\)左右变号，则是拐点。

渐近线包括三类：铅垂渐近线、水平渐近线、斜渐近线

铅垂渐近线

若\\(lim_x\\rightarrow x_0^+f(x)=\\infty(或lim_x\\rightarrow x_0^-f(x)=\\infty)\\)，则\\(x=x_0\\)是一条铅垂渐近线

\\(x_0\\)考虑无定义点、端点、分段点
水平渐近线
斜渐近线

以上是关于一元函数微分几何应用的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章