高等数学:微分积分物理以及几何意义

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了高等数学:微分积分物理以及几何意义相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

目录

0、前言

1、微分

1.1、一元微分

1.1.1、微分的来由

1.1.2、微分的定义

1.2、多元微分

1.2.1、邻域

1.2.2、重极限

 1.2.3、连续 

 1.2.4、偏导数

1.2.5、全微分

  2、积分

 2.1、定积分

2.1.1、几何背景

 2.2.2、可积性(充分必要条件)

 2.2.3、定积分的性质

0、前言

图像处理中会运用到各种算子,要想搞懂每种算子的使用,首先得有微分积分的基础知识。

1、微分

1.1、一元微分

1.1.1、微分的来由

微分<------------------>近似值<---------------->直线增量去近似代替曲线增量的那个直线增量部分---->记号dy------->y的微分---------->dy=Adx

1.1.2、微分的定义

 是直线的增量去代替曲线的增量,那么问题来了,A到底是什么东西?

由前边由来可知,A应该是直线的导数,这个直线导数是曲线在该点切线的斜率,因此A应当是导数。

由此推导出来的定理:

处可微的充分必要条件是处可导。

可微必可导的证明:

 所以一元函数可导和可微是等价的,但是两者的概念不一样。(可导的概念是变化率,而且是个瞬时变化率;而可微的概念是一个近似代替的问题,能不能用直线增量去近似代替曲线增量的问题)(即可导是一个瞬时变化率的问题,可微是一个近似值,但是他们两个在一元函数里边是相互等价的)

将上式左移,

导数和微分的几何意义:

 

 

 

1.2、多元微分

一元与多元的区分就是由原来的一个自变量,变成了多个自变量。 

1.2.1、邻域

邻域概念:第二个趋近于邻域是把中间点p给扣掉(大于0就保证取不到中间点p)。

二元函数的几何意义:其实就是形成了一个二维曲面。

1.2.2、重极限

 

 1.2.3、连续 

 

 1.2.4、偏导数

一元函数导数:

 

多元函数偏导数

对x偏导数:(对x求偏导,把y看成始终不变的 )

  

 对y的偏导数:

偏导数的几何意义:

 高阶偏导数

 

 连续指的是混合偏导数连续。

1.2.5、全微分

 

 

  2、积分

 2.1、定积分

2.1.1、几何背景

几何背景:就是曲边梯形的面积。曲边梯形的面积(任意划分,看成小矩形的面积)

Q:如何求一个函数与x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积?

A:首先对曲边梯形任意的划分,然后找一个作为代表,把它近似看作一个小矩形,找其宽度 ,并取一点,找到该点的函数值, 对划分的任意多个小矩形都找一点以及该点对应值,相乘(相当于长和宽)并求和,求和就相当于n个矩形的面积加起来。

趋近于0,每一个区间都有直径,表示n个小区间里边直径的最大值,直径的最大值都趋近于0,保证了你划分的精细程度。

定积分的概念:

划分、取 点、求和、取极限。

将上述极限值定义为 一元函数y=f(x)在闭区间a到b上的一个定积分(如果  极限存在,并把该极限定义为f(x)在这个区间上的定积分)。

定积分的几何意义:n项和的极限。

 2.2.2、可积性(充分必要条件)

PS:可积一般指定积分。

 2.2.3、定积分的性质

 PS:知道了微分和积分的知识,接下来就是一阶微分、二阶微分、以及积分在图像处理中的应用。

以上是关于高等数学:微分积分物理以及几何意义的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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