机器学习：朴素贝叶斯＋贝叶斯估计+BP人工神经网络习题手算|手工推导与习题计算

Posted 2023-03-28 孤飞-博客园

1.有 1000 个水果样例. 它们可能是香蕉，橙子或其它水果，已知每个水果的 3 种特性:是否偏长、是否甜、颜色是否是黄色

类型	长	不长	甜	不甜	黄色	非黄	Total
香蕉	400	100	350	150	450	50	500
橙子	0	300	150	150	300	0	300
其它	100	100	150	50	50	150	200
Total	500	500	650	350	800	200	1000

根据上表数据，分别利用朴素贝叶斯分类和贝叶斯估计方法，对一个（长，甜，黄色）水果进行识别，判断该水果属于：香蕉，橙子或其它水果哪一类？

解：

条件一致，舍去分母，加上分母可以将 正比于 替换为 等号

\\(P(长,甜,黄色)=P(长,甜,黄色∣香蕉)×P(香蕉)+P(长,甜,黄色∣橙子)×P(橙子)+P(长,甜,黄色∣其他水果)×P(其他水果)\\)

朴素贝叶斯分类方法：

\\(P(香蕉 | 长，甜，黄色)\\propto P(长 | 香蕉) * P(甜 | 香蕉) * P(黄色 | 香蕉) * P(香蕉)=\\frac400500\\times \\frac350500\\times \\frac450500\\times \\frac5001000=0.0252\\)

\\(P(橙子 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 橙子) * P(甜 | 橙子) * P(黄色 | 橙子) * P(橙子)=\\frac0300\\times \\frac150300\\times \\frac300300\\times \\frac3001000=0.0\\)

\\(P(其它 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 其它) * P(甜 | 其它) * P(黄色 | 其它) * P(其它)=\\frac100200\\times \\frac150200\\times \\frac50200\\times \\frac2001000=0.01875\\)

直接选择最大概率值就好了，即根据朴素贝叶斯分类，该水果属于香蕉.

贝叶斯估计方法：

设平滑参数\\(a\\)为1,其中特征可能数\\(k\\)都为2

\\(P(香蕉 | 长，甜，黄色)\\propto P(长 | 香蕉) * P(甜 | 香蕉) * P(黄色 | 香蕉) * P(香蕉)=\\frac400+1500+2\\times \\frac350+1500+2\\times \\frac450+1500+2\\times \\frac5001000=0.025089\\)

\\(P(橙子 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 橙子) * P(甜 | 橙子) * P(黄色 | 橙子) * P(橙子)=\\frac0+1300+2\\times \\frac150+1300+2\\times \\frac300+1300+2\\times \\frac3001000=0.0\\)

\\(P(其它 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 其它) * P(甜 | 其它) * P(黄色 | 其它) * P(其它)=\\frac100+1200+2\\times \\frac150+1200+2\\times \\frac50+1200+2\\times \\frac2001000=0.01875\\)

结果依然不变，即根据朴素贝叶斯估计，该水果属于香蕉.

解析：

首先，我们需要使用贝叶斯定理计算在给定（长，甜，黄色）水果的情况下，该水果属于每个类别的概率。由于在这个问题中每个特征是二元的（要么是，要么不是），因此我们可以使用朴素贝叶斯分类方法。对于一个测试水果，我们需要计算以下每个类别的条件概率，从而确定它最可能属于哪个类别：

\\(P(香蕉 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 香蕉) * P(甜 | 香蕉) * P(黄色 | 香蕉) * P(香蕉)\\)

\\(P(橙子 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 橙子) * P(甜 | 橙子) * P(黄色 | 橙子) * P(橙子)\\)

\\(P(其它 | 长，甜，黄色) \\propto P(长 | 其它) * P(甜 | 其它) * P(黄色 | 其它) * P(其它)\\)

其中\\(P(类别)\\)是每个类别的先验概率，可以通过将对应行中的总数除以总样本数进行计算。例如，对于香蕉类别，\\(P(香蕉) = 500/1000 = 0.5\\).

而条件概率\\(P(特征 | 类别)\\)可以通过对应的条目计算，例如对于“长”特征和香蕉类别，\\(P(长 | 香蕉)= 400/500 = 0.8\\)。

因此，对于一个（长，甜，黄色）水果，每个类别的朴素贝叶斯得分如下：

类别	香蕉	橙子	其它
得分	0.25200	0.00000	0.01875

因此，该水果最有可能属于香蕉类别。

然而，朴素贝叶斯分类方法受极端数据点的影响较大，因此我们可以使用贝叶斯估计方法来缓解这种情况。具体来说，对于每个类别的每个特征，我们可以引入一个小的平滑参数进行修正。假设平滑参数为a，那么对于任意特征x和类别y，我们可以按照以下方式计算条件概率：

\\(P(x | y) = \\fraccount(x, y) + acount(y) + a * NumPossibleValues(x)\\)

其中，\\(count(x, y)\\)是在y类别下x特征的计数。\\(count(y)\\)是y类别的样本总数，\\(NumPossibleValues(x)\\)是x特征可能的取值，即2。

选择a的值通常是根据经验确定的，但在这里我们可以使用a = 1。

使用贝叶斯估计方法进行相同的分类，我们得到以下朴素贝叶斯估计得分表：

类别	香蕉	橙子	其它
得分	0.25089	0.00049	0.01887

在这种情况下

附录：

朴素贝叶斯分类是基于贝叶斯定理的一种分类算法，它假设各个特征之间相互独立，因此被称为“朴素”。

朴素贝叶斯分类的计算流程如下：

1. 准备训练数据集，包括特征和对应的类别标签。

2. 计算每个类别出现的概率 \\(P(Y)\\)，并计算每个特征在每个类别下的概率 \\(P(X_i|Y)\\)，即给定类别 \\(Y\\) 的条件下，每个特征 \\(X_i\\) 出现的概率。

3. 对于一个新的样本，计算其属于每个类别的条件概率 \\(P(Y|X)\\)，即在给定特征 \\(X\\) 的情况下，属于类别 \\(Y\\) 的概率。根据贝叶斯定理，有：

   \\(P(Y|X) = \\fracP(X|Y)P(Y)P(X)\\)

   其中，\\(P(X|Y)\\) 是根据训练数据估算出的在类别 \\(Y\\) 下特征 \\(X\\) 出现的条件概率，\\(P(Y)\\) 是训练数据中类别 \\(Y\\) 出现的概率，\\(P(X)\\) 是特征 \\(X\\) 的边缘概率，可以通过\\(P(X)=\\sum_YP(X|Y)P(Y)\\)计算得到。

4. 根据上述公式计算每个类别下给定样本的条件概率，确定样本所属的类别。

如果给出的是多个特征，朴素贝叶斯分类的计算方式和单个特征相同，只是需要将所有特征的条件概率相乘。

具体来说，设一个样本的特征向量为 \\(X=(X_1,X_2,\\cdots,X_n)\\)，其中 \\(n\\) 是特征的数量。朴素贝叶斯模型假设特征之间相互独立，因此可以将样本属于类别 \\(Y\\) 的条件概率表示为：

\\[P(Y|X)=\\fracP(X|Y)P(Y)P(X)=\\fracP(Y)\\prod_i=1^nP(X_i|Y)P(X) \\]

其中，\\(P(Y)\\) 是类别 \\(Y\\) 出现的概率，可以通过训练集中出现类别 \\(Y\\) 的样本数占总样本数的比例进行估计；\\(P(X_i|Y)\\) 是给定类别 \\(Y\\) 的条件下特征 \\(X_i\\) 出现的概率，可以通过训练集中出现类别 \\(Y\\) 且特征 \\(X_i\\) 出现的样本数占出现类别 \\(Y\\) 的样本数的比例进行估计。

\\(P(X)\\) 是特征向量 \\(X\\) 的边缘概率，可以通过对所有可能的类别 \\(Y\\) 进行求和得到：

\\[P(X)=\\sum_YP(Y)\\prod_i=1^nP(X_i|Y) \\]

然后，将计算得到的 \\(P(Y|X)\\) 按照概率从大到小排序，通常选择概率最大的类别作为样本所属的类别。

贝叶斯估计方法，也称为拉普拉斯平滑（Laplace smoothing），是贝叶斯分类器中一种常用的平滑方法。它的主要思想是对于没有在训练数据中出现过的特征值，仍然分配一个非零的概率值，以避免在计算概率时出现分母为零的情况。

具体来说，设某个特征在训练数据集中出现的次数为 \\(N\\)，特征的可能取值个数为 \\(k\\)，则在贝叶斯估计中，我们将原本的频率估计公式 \\(P(X = x_i|Y = y_j) = \\fracN_i,jN_j\\) 改为：

\\(P_\\textsmooth(X = x_i|Y = y_j) = \\fracN_i,j + \\alphaN_j + \\alpha k\\)

其中，\\(N_i,j\\) 表示在训练数据集中，特征 \\(X = x_i\\) 且标签 \\(Y = y_j\\) 的样本数，\\(N_j\\) 表示标签为 \\(Y = y_j\\) 的样本数，\\(\\alpha\\) 是一个平滑参数，通常取值为 1。这样，在计算未出现过的特征值的概率时，分子仍然为 1，分母不为零，从而避免了出现无法计算的情况。

贝叶斯估计方法的优点是可以有效地避免过拟合，提高模型的泛化能力。但是，在实际应用中，由于使用了额外的参数 \\(\\alpha\\)，需要进行参数调整，否则可能会影响模型的表现。