视觉高级篇22 # 如何用仿射变换来移动和旋转3D物体?

Posted 凯小默

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了视觉高级篇22 # 如何用仿射变换来移动和旋转3D物体?相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

说明

【跟月影学可视化】学习笔记。

三维仿射变换:平移

对于平移变换来说,如果向量 P( x 0 ​ x_0​ x0, y 0 y_0 y0​, z 0 ​ z_0​ z0) 沿着向量 Q( x 1 x_1 x1​, y 1 ​ y_1​ y1, z 1 ​ z_1​ z1) 平移,只需要让 P 加上 Q,就能得到变换后的坐标。

三维仿射变换:缩放

让三维向量乘上标量,就相当于乘上要缩放的倍数。

可以使用齐次矩阵来表示三维仿射变换,通过引入一个新的维度,就可以把仿射变换转换为齐次矩阵的线性变换。

三维物体的旋转变换比较复杂一点,下面先了解一下欧拉角。

什么是欧拉角?

中文维基百科:欧拉角

莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系,一个刚体的取向,是依照顺序,从这参考系,做三个欧拉角的旋转而设定的。所以,刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说,任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

比如飞机的姿态可以由这三个欧拉角来确定,绕 x 轴的旋转角度(翻滚机身)、绕 y 轴的旋转角度(俯仰),以及绕 z 轴的旋转角度(偏航)来表示。

具体的表示公式就是 Rx、Ry、Rz,这三个旋转矩阵相乘。

这里采用的是 y−x−z 顺规。

下面是欧拉角的顺规表示方式:


采用 y−x−z 顺规的欧拉角得到的旋转矩阵如下:

使用欧拉角来旋转几何体

让几何体绕 y 轴、x 轴、z 轴转过 α、β、γ 角。

下面是三维物体的旋转变换矩阵:

绕y轴旋转变换矩阵:

绕x轴旋转变换矩阵:

绕z轴旋转变换矩阵:

如何使用欧拉角来旋转几何体?

OGL 框架的几何网格(Mesh)对象直接支持欧拉角(默认欧拉角顺规是 y−x−z),用对象的 rotation 属性(它是一个三维向量)就可以设置欧拉角。

下面实现可以随意调整欧拉角的飞机模型效果:偏航(改变 alpha)、翻滚(改变 beta)和俯仰(改变 theta)

需要用到的资源

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
    <head>
        <meta charset="UTF-8" />
        <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
        <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
        <title>如何使用欧拉角来旋转几何体</title>
        <style>
            canvas 
                border: 1px dashed rgb(250, 128, 114);
            
        </style>
    </head>
    <body>
        <canvas width="512" height="512"></canvas>
        <script type="module">
            import  Renderer, Camera, Transform, Geometry, Texture, Program, Mesh from './common/lib/ogl/index.mjs';
            // javascript Controller Library
            import * as dat from './common/lib/dat.gui.js';
            console.log(dat)

            const canvas = document.querySelector('canvas');
            const renderer = new Renderer(
                canvas,
                width: 512,
                height: 512,
            );

            const gl = renderer.gl;
            gl.clearColor(1, 1, 1, 1);
            const camera = new Camera(gl, fov: 35);
            camera.position.set(0, 0, 10);
            camera.lookAt([0, 0, 0]);

            const scene = new Transform();

            const vertex = `
                precision highp float;

                attribute vec3 position;
                attribute vec3 normal;
                attribute vec2 uv;

                uniform mat4 modelViewMatrix;
                uniform mat4 projectionMatrix;

                varying vec2 vUv;

                void main() 
                    vUv = uv;
                    gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position, 1.0);
                
            `;

            const fragment = `
                precision highp float;

                uniform sampler2D tMap;
                varying vec2 vUv;

                void main() 
                    gl_FragColor = texture2D(tMap, vUv);
                
            `;

            // 加载模型
            async function loadModel(src) 
                const data = await (await fetch(src)).json();
                // 创建 Geometry 对象,并返回这个对象
                const geometry = new Geometry(gl, 
                    position: size: 3, data: new Float32Array(data.position),
                    uv: size: 2, data: new Float32Array(data.uv),
                    normal: size: 3, data: new Float32Array(data.normal),
                );
                return geometry;
            

            // 加载纹理
            function loadTexture(src) 
                const texture = new Texture(gl);
                return new Promise((resolve) => 
                    const img = new Image();
                    img.onload = () => 
                        texture.image = img;
                        resolve(texture);
                    ;
                    img.src = src;
                );
            

            (async function () 
                // 加载飞机几何体模型
                const geometry = await loadModel('./assets/model/airplane.json');
                // 加载飞机的纹理图片
                const texture = await loadTexture('./assets/model/airplane.jpg');

                // 渲染部分
                const program = new Program(gl, 
                    vertex,
                    fragment,
                    uniforms: 
                        tMap: value: texture,
                    ,
                );
                const mesh = new Mesh(gl, geometry, program);
                mesh.setParent(scene);
                renderer.render(scene, camera);

                // 添加控制
                const gui = new dat.GUI();
                const palette = 
                    alpha: 0,
                    beta: 0,
                    theta: 0,
                ;

                gui.add(palette, 'alpha', -180, 180).onChange((val) => 
                    mesh.rotation.y = val / 180 * Math.PI;
                    renderer.render(scene, camera);
                );

                gui.add(palette, 'beta', -180, 180).onChange((val) => 
                    mesh.rotation.x = val / 180 * Math.PI;
                    renderer.render(scene, camera);
                );

                gui.add(palette, 'theta', -180, 180).onChange((val) => 
                    mesh.rotation.z = val / 180 * Math.PI;
                    renderer.render(scene, camera);
                );
            ());
        </script>
    </body>
</html>

效果如下:

如何理解万向节锁?

使用欧拉角来操作几何体的方向有个缺陷叫做万向节锁 (Gimbal Lock)

什么是 Gimbal ?

平衡环架(英语:Gimbal),是一具有枢纽的装置,作用是使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架,则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变,而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上,而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。

什么是万向节锁 (Gimbal Lock) ?

在特定的欧拉角情况下,姿态调整的自由度丢失就是万向节锁 (Gimbal Lock) 。

我们调整 beta 的角度改成 90,不管改变 alpha 还是改变 theta,飞机都绕着 y 轴旋转,始终处于一个平面上。本来飞机姿态有 x、y、z 三个自由度,现在 y 轴被固定了,只剩下两个自由度了,这就是万向节锁。

要避免万向节锁的产生,可以使用比较好的一种数学模型:四元数(Quaternion)

使用四元数来旋转几何体

四元数是一种高阶复数,一个四元数可以表示为:q = w + xi + yj + zk

  • i、j、k 是三个虚数单位,w 是标量
  • 满足 i 2 i^2 i2 = j 2 j^2 j2 = k 2 k^2 k2 = ijk = −1

所谓单位四元数,就是其中的参数满足 x 2 x^2 x2+ y 2 y^2 y2+ z 2 z^2 z2+ w 2 w^2 w2=1。单位四元数对应的旋转矩阵如下:

四元数与轴角

所谓轴角,就是在三维空间中,给定一个由单位向量表示的轴,以及一个旋转角度 ⍺,以此来表示几何体绕该轴旋转 ⍺ 角。


绕单位向量 u 旋转 ⍺ 角,对应的四元数可以表示为:q = (usin(⍺/2), cos(⍺/2))

下面实现一下用四元数让飞机沿着某个轴旋转:

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
    <head>
        <meta charset="UTF-8" />
        <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
        <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
        <title>用四元数让飞机沿着某个轴旋转</title>
        <style>
            canvas 
                border: 1px dashed #fa8072;
            
        </style>
    </head>
    <body>
        <canvas width="512" height="512"></canvas>
        <script type="module">
            import  Renderer, Camera, Transform, Geometry, Texture, Orbit, Program, Mesh, Polyline  from './common/lib/ogl/index.mjs';
            import  Vec3  from "./common/lib/math/vec3.js";
            import  Quat  from "./common/lib/math/Quat.js";
            import  Color  from "./common/lib/math/Color.js";
            // JavaScript Controller Library
            import * as dat from './common/lib/dat.gui.js';
            console.log(dat)

            const canvas = document.querySelector('canvas');
            const renderer = new Renderer(
                canvas,
                width: 512,
                height: 512,
            );

            const gl = renderer.gl;
            gl.clearColor(1, 1, 1, 1);
            const camera = new Camera(gl, fov: 35);
            camera.position.set(0, 0, 10);
            camera.lookAt([0, 0, 0]);

            const scene = new Transform();

            const vertex = `
                precision highp float;

                attribute vec3 position;
                attribute vec3 normal;
                attribute vec2 uv;

                uniform mat4 modelViewMatrix;
                uniform mat4 projectionMatrix;

                varying vec2 vUv;

                void main() 
                    vUv = uv;
                    gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position, 1.0);
                
            `;

            const fragment = `
                precision highp float;

                uniform sampler2D tMap;
                varying vec2 vUv;

                void main() 
                    gl_FragColor = texture2D(tMap, vUv);
                
            `;

            // 加载模型
            async function loadModel(src) 
                const data = await (await fetch(src)).json();
                // 创建 Geometry 对象,并返回这个对象
                const geometry = new Geometry(gl, 
                    position: size: 3, data: new Float32Array(data.position),
                    uv: size: 2, data: new Float32Array(data.uv),
                    normal: size: 3, data: new Float32Array(data.normal),
                );
                return geometry;
            

            // 加载纹理
            function loadTexture(src) 
                const texture = new Texture(gl);
                return new Promise((resolve) => 
                    const img = new Image();
                    img.onload = () => 
                        texture.image = img;
                        resolve(texture);以上是关于视觉高级篇22 # 如何用仿射变换来移动和旋转3D物体?的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数学篇09 # 如何用仿射变换对几何图形进行坐标变换?

OpenCV新手入门,如何用它平移缩放和旋转图片

视觉高级篇20 # 如何用WebGL绘制3D物体?

3d变换基础:平移旋转缩放(仿射变换)详解——公式推导

生成组合仿射变换矩阵,裁剪+缩放+平移+斜切+旋转

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