从基变换的角度理解旋转矩阵R

Posted 2022-12-13 李迎松~

在理解相机坐标系时，我们一定会接触相机的外参矩阵R，它将世界坐标系下的坐标转换到相机坐标系下：
$$P_c=R\ast P_w+t$$
这实际上是两个坐标系之间的变换，我们知道$R$矩阵是一个正交矩阵，所以它的3个行（列）向量是3维向量空间的一组标准正交基，而一组标准正交基可以作为一个坐标系的三个基向量。那么我们的$R$矩阵如何和两个坐标系的基向量联系起来呢？

我们先画出两个坐标系$X_w{Y}_w{Z}_w$和$X_c{Y}_c{Z}_c$：

我们要讨论的是如何把某一点 $P$ 在世界坐标系上的坐标转换成相机坐标系上的坐标。

暂且不考虑两个坐标系之间的平移，于是将相机坐标系的原点移动到世界坐标系的原点，像这样：

我们可以标出两个坐标系的基向量组$e_w({\vec{e}}_{wx},{\vec{e}}_{wy},{\vec{e}}_{wz})$和$e_c({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})$。它们都在世界坐标系下。

接下来，再讨论如何把世界坐标系上的一点$P(X_w,Y_w,Z_w)$转换到相机坐标系下
$$P(X_w,Y_w,Z_w)\to P(X_c,Y_w,Z_w)$$
在世界坐标系下，基向量组$e_w({\vec{e}}_{wx},{\vec{e}}_{wy},{\vec{e}}_{wz})$为单位阵，也就是

其中${\vec{e}}_{wx}=(1,0,0{)}^T$，${\vec{e}}_{wy}=(0,1,0{)}^T$，${\vec{e}}_{wz}=(0,0,1{)}^T$。

我们知道$P$在世界坐标系下的坐标实际上是以上三组基向量的线性组合，即$P_w=X_w\ast {\vec{e}}_{wx}+Y_w\ast {\vec{e}}_{wx}+Z_w\ast {\vec{e}}_{wx}$

这便是坐标的基向量表示法了。

那么我们把$P$点的坐标变换到基向量组 e c ( e ⃗ c x , e ⃗ c y , e ⃗ c z ) e_c(\\vece_cx,\\vece_cy,\\vece_cz) 以上是关于从基变换的角度理解旋转矩阵R的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

矩阵变换：沿任意轴旋转及其推导

计算机图形学关于旋转变换矩阵的问题

矩阵、虚数与坐标变换

在变换中缩放和旋转矩阵？

旋转矩阵

矩阵乘法的几何意义