支撑向量机

Posted 2023-02-19 周虽旧邦其命维新

1、支持向量机算法原理

支持向量机（Support Vetor Machine，SVM）由Vapnik等人于1995年首先提出，在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并推广到人脸识别、行人检测和文本分类等其他机器学习问题中。

SVM建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上，根据有限的样本信息在模型的复杂性和学习能力之间寻求最佳平衡，以求获得最好的推广能力。SVM可以用于数值预测和分类。

SVM从基础到复杂可以分成三种分别为线性可分支持向量机（也就是硬间隔支持向量机Hard-margin Support Vector Machine）、线性支持向量机（软间隔支持向量机Soft-margin Support Vector Machine）、非线性支持向量机（核函数支持向量机Non-Linear Support Vector Machine）

1.1硬间隔支持向量机理论推导

线性可分定义：

如果一个数据集是线性可分的，那么一定有无数多个超平面将各个类别分开，在这么多超平面中，哪一个是最好的呢？将这条直线分别向两侧移动，直到包含蓝色和红色的点，移动到蓝色、红色点位置的直线就叫做支撑向量，如果一个直线的两个支撑向量的间隔(margin)最大，那这条直线就是将红色、蓝色点分开的最优分类直线。

支持向量机寻找的最优分类直线应满足：

• 该直线分来了两类
• 该直线最大化margin
• 该直线处于间隔的中间，到所有支持向量距离相等

margin=2d，所以最大化margin也就是最大化d。

直线的Ax+By+C=0拓展到n维空间即theta*xb = 0，也可以写做wt是系数，b是截距，wt和b合在一起就是theta。

n维空间点到直线的距离为式1.1：

红色点到直线的距离大于等于d，蓝色点到直线距离小于等于d，将红色点定义为分类结果为1，蓝色点定义为分类结果为-1，然后不等式两边同时除以d：

将分母除开，用wT(d)表示wT除以d的结果，用bd表示b除以d的结果，则不等式可以转换为如下形式，且不等式表示的意思即左侧的直线方程：

将wT(d)重命名为wT，bd重命名为b，以上的式子就变成了：

注意，这时wT和b与刚开始公式中的wT和b不相同，但由于等式两边可以同时除以d，所以原wT * x + b的绝对值也等于1

两个不等式左右两边同时乘以y的真实值，将两个不等式合为一个不等式1.2：

在支撑向量上有wT * x + b的绝对值等于1，在非支撑向量上有wT * x + b的绝对值大于1，我们求的是最大化支撑向量上点到直线wT * x + b = 0的距离d，n维空间点到直线的距离的式子如右侧如图所示，而在支撑向量上wT * x + b = 1，所以最大化间隔就变成了最大化w模的倒数，也就是最小化w模的值。

这是一个有条件的最优化问题，s.t.表示限定条件，式1.3：

无约束条件求极值点只需要求导，梯度为零就是局部极小或极大值点，有条件的最优化问题较为复杂，需要用到拉格朗日乘子法和KKT条件。

在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法和KKT条件是非常重要的两个求取方法。

1）对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；

2）如果含有不等式约束，可以用于KKT条件去求取。

当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。

1.2 软间隔支持向量机理论推导

硬间隔支持向量机默认样本数据集是完全线性可分的，即存在一个超平面能将两个类别的数据完全分开，在数据近似可分的时候，就不能使用硬间隔支持向量机了。解决该问题的思路是：允许出现一些错误，并且要使得间隔最大的同时,错误最小化。

式1.3的限定条件左侧大于等于 1 是为了使得所有样本点都在正确的分类下，这也是为什么称为硬间隔的原因。而现在数据集无法用一个超平面完全分开，这时就需要允许部分数据集不满足上述约束条件。

可以看到只要每个Delta i足够大，上面的n个不等式一定可以成立，当然我们还要限制每个Delta无限制的扩大，让它在一个合理的范围内。

改造后的支持向量机优化版本式1.4：

其中C>0称为惩罚参数，C值大的时候对误分类的惩罚增大，C值小的时候对误分类的惩罚减小，上图中的式子也被称为是svm的L1正则和L2正则。

2、sklearn中的svm

2.1 sklearn中的线性SVM

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.model_selection import train_test_split

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

X = X[y<2,:2]
y = y[y<2]

# plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1])
# plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
# plt.show()

X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X, y)

standard = StandardScaler()
standard.fit(X_train)
X_train_standard = standard.transform(X_train)
X_test_standard = standard.transform(X_test)

# 线性支持向量机解决分类问题LinearSVC
# C就是公式中的惩罚参数，C越大越接近硬间隔支持向量机
svc = LinearSVC(C=1e8)
svc.fit(X_train_standard,y_train)
print(svc.coef_)
print(svc.intercept_)

# 当C过小，Delta可以超出合理范围的大，导致允许过多的预测错误出现，使模型预测准确度下降
print(svc.score(X_test_standard, y_test))

2.2 线性svm多项式特征理论推导

在如下图分类问题中，如果我们坚持分开两类的必须是直线，那么无论我们怎么取这条直线，预测的结果都不太准确。

这时候需要从低维映射到高维，使问题在高维度中重新变成线性可分问题。如下图左侧四个点在二维空间中线性不可分：

根据计算结果我们可以看到在五维空间，问题变的线性可分了。

定理：

这个定理告诉我们将训练样本由低维映射到高维，可以增大线性可分的概率。

如果我们将X映射为φ(X)，式1.4转换成式1.5，这里有一个隐含的前提条件，在低维问题中wi与Xi维度相同，在高维问题中w与φ(X)维度相同，可以看到高维问题的解法与低维完全类似，都可以利用凸优化理论完成支持向量机的求解。

2.3 LinearSVC使用多项式特征

编写PolynomialSVC.py文件

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures,StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.svm import LinearSVC

def PolynomialSVC(degree=2, C=1.):
    return Pipeline([
        ('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ('std_standar', StandardScaler()),
        ('svc', LinearSVC(C=C))
    ])

测试代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from common.PolynomialSVC import PolynomialSVC
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures,StandardScaler


# 默认生成100条包含两个特征的数据，默认是规则的图形，添加noise噪音可以理解为标准差
X,y = datasets.make_moons(noise=0.1)

X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X, y)
# 使用Pipeline顺序执行PolynomialFeatures、StandardScaler、LinearSVC预测结果不好，
# 应该由于PolynomialSVC中LinearSVC接收到的X_train经过了PolynomialFeatures添加多项式，StandardScaler归一化
# 而X_test计算score时没有经过这两步，所以预测结果不准确
poly_svc = PolynomialSVC(degree=2, C=1e8)
poly_svc.fit(X_train,y_train)
print(poly_svc.score(X_test,y_test))

poly = PolynomialFeatures(degree=3)
poly.fit(X_train,y_train)
X_train = poly.transform(X_train)
X_test = poly.transform(X_test)

std = StandardScaler()
std.fit(X_train,y_train)
X_train = std.transform(X_train)
X_test = std.transform(X_test)

svc = PolynomialSVC(C=1e8)
svc.fit(X_train,y_train)
print(svc.score(X_test,y_test))

2.4 使用SVC

编写PolynomialKernelSVC.py文件

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.pipeline import Pipeline

def PolynomialKernelSVC(degree=2,C=1.0):
    return Pipeline([
        ('std_standar', StandardScaler()),
        # 使用核函数的svm
        ('kernel_svc', SVC(degree=degree, C=C))
    ])

测试：

import numpy as np
from sklearn import datasets
from common.PolynomialKernelSVC import PolynomialKernelSVC

# 默认生成100条包含两个特征的数据，默认是规则的图形，添加noise噪音可以理解为标准差
X,y = datasets.make_moons(noise=0.1)
kernel_svc = PolynomialKernelSVC(degree=2, C=1e8)
kernel_svc.fit(X,y)
print(kernel_svc.score(X,y))

从结果的角度，LinearSVC和使用SVC且kernel传入linear，结果是一致的。但是由于LinearSVC只能计算线性核，而SVC可以计算任意核，所以，他们的底层计算方式不一样，这使得同样使用线性核的SVC，用LinearSVC的计算速度，要比用SVC且kernel传入linear参数，快很多。

所以，整体而言，如果你决定使用线性SVM，就使用LinearSVC，但如果你要是用其他核的SVM，就可以使用SVC。

3、核函数

3.1 核函数理论

我们将φ(X)的转置乘以φ(X)称为核函数(Kernel Function)，核函数是一个实数。

已知核函数K求映射φ(X)的例子：

假设X是一个二维向量，X1=[x11, x12]的转置，X2=[x21, x22]的转置

如果φ(X)是如下五维向量的形式，核函数K就是上面的形式

核函数K和映射φ(X)是一 一对应的关系，知道一个，可以求出另一个。

Mercer定理：

正态分布就是一个高斯函数。高斯核函数有时也被称为RBF核（Radial Basis Function Kernel），有些文章中也会把1.0/(2 * sigma ** 2)替换成gamma，sklearn中的高斯核函数似乎也是用的gamma，gamma越大，正态分布越窄，模型越趋向过拟合，gamma越小，模型越趋向欠拟合。

高斯核函数代码演示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-4, 5, 1)
print(x)
y = np.array((x > -2) & (x < 3), dtype=int)
print(y)

def gaussian(x,l):
    sigma = 1.0
    # 将高斯核函数中的x2固定为l，l是地标
    return np.exp(-(1.0/(2 * sigma ** 2)) * (x - l) ** 2)

l1,l2 = -1,1

X_new = np.empty((len(x), 2))
for i,data in enumerate(x):
    X_new[i,0] = gaussian(data, l1)
    X_new[i,1] = gaussian(data, l2)

plt.scatter(X_new[y==0,0],X_new[y==0,1])
plt.scatter(X_new[y==1,0],X_new[y==1,1])
plt.show()

高斯核函数也是升维，是将m * n的数据映射为m * m的数据，对于每个数据点都是一个地标（landmark）。当样本数量m小于特征数n时，使用高斯核函数就非常划算，最典型的应用领域是自然语言处理。

3.2 sklearn中的高斯核函数

编写RBFKernelSVC.py文件

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.svm import SVC

def RBFKernelSVC(gamma=1.0):
    return Pipeline([
        ('std_standar', StandardScaler()),
        ('svc', SVC(kernel='rbf', gamma=gamma))
    ])

使用测试数据演示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from common.RBFKernelSVC import RBFKernelSVC

X,y = datasets.make_moons(noise=0.15, random_state=666)
# plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1])
# plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
# plt.show()

svc = RBFKernelSVC(gamma=1.0)
svc.fit(X,y)
print(svc.score(X,y))

4、使用svm解决回归问题

线性回归算法就是让预测的直线的MSE的值最小，对于SVM来说，拟合的定义是指定一个margin值，在这个margin范围里面，包含的数据点越多越好，包含的越多就代表这个范围能比较好的表达样本数据点，这种情况下取中间的直线作为真正的回归结果，用其来预测其他点的相应的值。

在训练的时候是要对margin的范围进行一个指定，这就要引入一个新的超参数epsilon，即上下两根直线到中间的直线的垂直距离。

这和前面SVM解决分类问题的思路相反，前面是margin中的点越少越好，硬间隔支持向量机要求margin中一个点都不能有，这里是越多越好。

编写StandardLinearSVR.py文件，这里使用LinearSVR

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.svm import SVR
from sklearn.svm import LinearSVR

def StandardLinearSVR(epsilon=0.1):
    return Pipeline([
        ('std_scale', StandardScaler()),
        ('linear_svr', LinearSVR(epsilon=epsilon))
    ])

使用波士顿房价数据测试：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from common.StandardLinearSVR import StandardLinearSVR
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import LinearSVR

boston = datasets.load_boston()
X = boston.data
y = boston.target

X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)
linear_svr = StandardLinearSVR()
linear_svr.fit(X_train,y_train)
print(linear_svr.score(X_test,y_test))

std = StandardScaler()
std.fit(X_train,y_train)
X_train = std.transform(X_train)
X_test = std.transform(X_test)

linear_svr = LinearSVR()
linear_svr.fit(X_train,y_train)
print(linear_svr.score(X_test,y_test))