支撑向量机SVM-1.原理

Posted 2020-12-01 shuai-long

支撑向量机的英文名叫: Support Vector Machine，是机器学习领域中的很重要的一种算法。它的思想背后有极强的统计理论的支撑，也是统计学上常用的一种方法。此算法在机器学习中既能解决分类问题，又能解决回归问题。且对真实的数据具有很好的泛化能力。
原理：考虑如下样本数据集，如何分辨此数据集？

之前的逻辑回归算法，确定决策边界的思路是定义了一个概率函数，根据这个概率函数进行建模，形成了损失函数，最小化损失函数来确定决策边界。
支撑向量机和逻辑回归不同，它的实现是找到一条最优的决策边界，距离两个类别的最近的样本距离最远，如下图：

最近的点也称为支撑向量，这些支撑向量定义了一个区域，而我们找到的决策边界就是被这个区域所定义的，是位于区域中心的一条线。支撑向量机的目标就是最大化margin，即最大化d。

数学求解

回忆解析几何知识，求点到直线的距离：
点(（x,y）)到直线(Ax+By+C=0)的距离公式为：
[ frac{left | Ax+By+C ight | }{sqrt{A^2+B^2}} ]
扩展到n维空间直线 ( heta ^Tcdot X_b = 0) -> (w^T cdot X +b = 0)：
[frac{left | w^T cdot X +b ight | }{left | w ight |}]
其中(left | w ight | = sqrt{w_1^2+w_2^2+...+w_n^2})

假设决策边界为(w^T cdot X +b = 0)，对于上图中的两类样本，假设一类为1，在直线的上方，另一类为-1，在直线的下方，分别有：

式子两边同除于d

对于上式，({left | w ight |}d)是一个常数，再化简得：

上式可合为：

对于任意支撑向量x，d的距离应该经可能大，即要解决的是：
[max frac{left | w^T cdot X +b ight | }{left | w ight |}]
而又因为支撑向量构成的直线如下：

即({left | w^T cdot X +b ight | } = 1)，所以，目标函数为：(min {left | w ight |})
为了方便求导，最终的目标为：
[min frac{1}{2}{left | w ight |}^2 \\s.t.quad y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b)>1]
注：(s.t.) 为约束条件。

Soft Margin和SVM的正则化

对于数据样本如下的数据集，严格的按红蓝样本点来确定决策边界是不太准确的，因为最右边的这个蓝色点或许是一个错误的点或者是一个特殊的点，而采用另一个有容错的直线可能泛化能力会好一点。

为了更好的容错，将限定条件改为：
[s.t.quad y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b)>1-xi _i (xi geq 0)]
但(xi)也不能无限制的大，所以在目标函数中加入正则项：