下面的方阵图中，每行、每列、每条对角线上的3个数的和相等

Posted 2023-04-12

1.根据图一中给出的数，对照完成图二 2.试着自己找出9个不同的数，完成图三 3.想一想图中9个数，最中间的数与其他8个数有什么关系？

参考技术A 表一：
表二：
表三：
3
-7
7
-3
4
-1
2
9
4
5
1
-3
2
0
-2
7
5
3
-5
9
-1
1
-4
3
6
1
8
表一每一行，每一列，以及两条对角线上的和都分别相等。
可将九个数字相加，
除以行数，
得出的数字就是每行数字的总和（称为魔数）.
故表二的魔数为0，
表三则为著名的九宫图.
中间数字乘以8等于其他8个数字的和……

质数方阵

https://loj.ac/problem/10024

题目描述

??给出数位之和(S)与左上角的数字(a)，要求填出一个(5×5)的质数表，使每行每列每条对角线的数都为质数，并且数位之和为给出的数。

思路

??当初做这道的时候几经崩溃，根本无法在一个(dfs)中在规定时限内完成对质数表的填充，无奈之下，我只能多打几个(dfs)了，具体内容看代码即可。

??我们首先肯定要处理处所有数位和为(S)的质数，这有很多方法，我就不详细讲述了。

??我们考虑填数的时候，尽量填已知多的数，这样可以尽早返回能否填充。既然填的是数位，那么我们就需要质数的判断。我的方法是建一个(5)维的数组。

??所以我们先考虑填左上角开始的横、纵、斜三个质数（现在想来可以先填成三角形状，不过我不想改代码了），再开始搜索。

??(①)填这三个质数，我们可以直接搜索开头为(a)的质数，依次填入。

??(②)我们在尝试填另一条对角线，因为它已知三个数，我们只需依次枚举这两位的数字，判断是否为质数，在进入下一层搜索。

??(③)再同样尝试填第(2)条横线和第(2)条纵线。

??(④)试着填第(3)条横线和第(3)条纵线。

??(⑤)将剩下填完，记录答案。

代码（极长无比的搜索过程）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[100000],cnt,m[10],s,v;
struct aa
{
    char a[6][6];
}g[5000];
bool cmp(aa x,aa y)
{
    for(int i=0;i<5;i++)
        for(int j=0;j<5;j++)
            if(x.a[i][j]!=y.a[i][j])return x.a[i][j]<y.a[i][j];
}
bool is_prime(int x)
{
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
        if(x%i==0)return 0;
    return 1;
}
int sum(int x)
{
    int s=0;
    while(x)
    {
        s+=x%10;
        x/=10;
    }
    return s;
}
bool f,fhash[10][10][10][10][10],ff[100000];
char ans[10][10];
bool check()
{
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        int x=0,ss=0;
        for(int j=0;j<5;j++)
            x=x*10+ans[i][j]-'0',ss+=ans[i][j]-'0';
        if(ss!=s||!ff[x])return 0;
    }
    for(int j=0;j<5;j++)
    {
        int x=0,ss=0;
        for(int i=0;i<5;i++)
            x=x*10+ans[i][j]-'0',ss+=ans[i][j]-'0';
        if(ss!=s||!ff[x])return 0;
    }
    return 1;
}
void dfs7()
{
    int a=ans[0][3]-'0',b=ans[1][3]-'0',c=ans[2][3]-'0',d=ans[3][3]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        if(fhash[a][b][c][d][i])
        {
            ans[4][3]=i+'0';
            if(check())
            {
                f=1;
                v++;
                for(int i=0;i<5;i++)
                    for(int j=0;j<5;j++)
                        g[v].a[i][j]=ans[i][j];
            }
        }
}
void dfs6()
{
    int a=ans[3][0]-'0',b=ans[3][1]-'0',c=ans[3][2]-'0',d=ans[3][3]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        if(fhash[a][b][c][d][i])
        {
            ans[3][4]=i+'0';
            dfs7();
        }
}
void dfs5()
{
    int a=ans[0][2]-'0',b=ans[1][2]-'0',c=ans[2][2]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            if(fhash[a][b][c][i][j])
            {
                ans[3][2]=i+'0';ans[4][2]=j+'0';
                dfs6();
            }
}
void dfs4()
{
    int a=ans[2][0]-'0',b=ans[2][1]-'0',c=ans[2][2]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            if(fhash[a][b][c][i][j])
            {
                ans[2][3]=i+'0';ans[2][4]=j+'0';
                dfs5();
            }
}
void dfs3()
{
    int a=ans[0][1]-'0',b=ans[1][1]-'0',c=ans[3][1]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            if(fhash[a][b][i][c][j])
            {
                ans[2][1]=i+'0';ans[4][1]=j+'0';
                dfs4();
            }
}
void dfs2()
{
    int a=ans[1][0]-'0',b=ans[1][1]-'0',c=ans[1][3]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            if(fhash[a][b][i][c][j])
            {
                ans[1][2]=i+'0';ans[1][4]=j+'0';
                dfs3();
            }
}
void dfs1()
{
    int a=ans[4][0]-'0',b=ans[2][2]-'0',c=ans[0][4]-'0';
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            if(fhash[a][i][b][j][c])
            {
                ans[3][1]=i+'0';ans[1][3]=j+'0';
                dfs2();
            }
}
int main() 
{
//    freopen("aa.txt","w",stdout);
    int x,k=0;
    scanf("%d%d",&s,&x);
    for(int i=10000;i<100000;i++)
        if(is_prime(i)&&sum(i)==s)
        {
            p[++k]=i;
            int a[8]={0},l=i;
            for(int j=5;j>0;j--)
                a[j]=l%10,l/=10;
            fhash[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]]=1;
            ff[i]=1;
        }
    cnt=k-1;
    for(int i=1;i<=9;i++)
        m[i]=lower_bound(p+1,p+cnt+1,i*10000)-p;
//    printf("%d
",cnt);
//    for(int i=1;i<=cnt;i++)
//        printf("%d
",p[i]);
    ans[0][0]=x+'0';
    for(int i=m[x];i<m[x+1];i++)
        for(int j=m[x];j<m[x+1];j++)
            for(int k=m[x];k<m[x+1];k++)
            {
                int l=p[i];
//                printf("%d
",l);
                for(int q=4;q>0;q--)
                    ans[0][q]=l%10+'0',l/=10;
                l=p[j];
                for(int q=4;q>0;q--)
                    ans[q][0]=l%10+'0',l/=10;
                l=p[k];
                for(int q=4;q>0;q--)
                    ans[q][q]=l%10+'0',l/=10;
//                printf("%s
",ans[0]);
                dfs1();
            }
    if(!f)printf("NONE");
    else
    {
        sort(g+1,g+v+1,cmp);
        for(int i=1;i<=v;i++)
        {
            for(int j=0;j<5;j++)
                printf("%s
",g[i].a[j]);
            printf("
");
        }
    }
    return 0;
}