单层感知器

Posted 2023-03-13 AI学长

神经网络是模拟人类神经系统的，深度学习是神经网络的又一个名词。首先我们先来了解什么是人工神经元。

1.1 人工神经元

人工神经元是从人类神经元中抽象出来的数学模型。如下图：

该模型是1943年由心理学家Warren McCulloch和数学家Walter Pitts合作提出人工神经元，称为M-P模型。

其表达式如下：

计算过程的理解：

（1）求和：s = w1*x1+w2*x2+...+w3*x3；

（2） 如果 s > 阈值 输出1，否则输出0；

（3）变换 s-阈值>0，定义bias = -阈值，称为偏置。

 最初的研究是用来算法来理解逻辑运算：与门、或门、非门。

如下与或非运算真值表：

 把其值表达在坐标上：

 按照二分类的理解，圈是0类，三角形是1类。正好通过一条分割线分割：

 其实M-P模型人为的设定好w和b参数，就可以解决简单的线性分类问题（与门、或门）。

局限性： 权值w和偏置b都是人为给定的，此模型没有"自我学习"能力。

下面我们来学习具有自我学习的模型 --- 单层感知器。

1.2 单层感知器

1.2.1 提出问题

M-P模型的参数w和b是通过手动设置的，显得有些不智能。

问题：如图，那么计算机能否自己计算找到合适的参数（w，b）？

或者说  如何找到一个合适的直线分割两类点（找到参数w,b）？

 1.2.2 感知器模型

1958年美国心理学家Rosenblatt（弗兰克.罗森布拉）提出一种能够自我学习，具有单层计算单元的神经网络模型，叫感知器（perceptron）。 结构如下：

 表达式：

 其中，W是权重，b是偏置（上图w0）；注意：W,X是向量形式。

激活函数f是一个阶跃函数（结果是简单的二分类0/1），其表达式：

 1.2.3 感知器学习过程

感知器找到合适的w，b的过程如下：

（1）首先权重初始化，对权重w0（就是b），w1, w2 进行随机初始化；

（2）前向传播：输入样本对X, Y，通过 Y=f(WX+b) 计算节点的实际输出（其中X=x11,x12, x21,x22, x31,x32... 为输入信号矩阵，Y=y1,y2,y3...为期望目标值 ）；

（3）计算误差：使用损失函数计算误差；

（4）反向传播：计算传递梯度，更新权重w和偏置b ；

按照 2-4步进行迭代，直到在训练集合达到期望的要求（例如：期望误差很小）。

1.2.4 损失函数

感知器学习的过程中，计算误差的函数称为损失函数。

损失函数模型训练中，表示随机事件的“风险”或“损失”的函数，即衡量误差大小的函数。

感知器使用均方误差MSE作为损失函数：

其中，n是个数，yi是当前值（真实），^yi是期望值（标签、预测）； 1/2没有特殊意义，是为了求导后能约掉2系数。 

曲线图：

 损失函数（二次方）曲线

在误差很小的时候，通常就是我们所期望的结果。

在二次方曲线中，导数等于0的地方就是误差最小的地方，那么问题是如何寻找这个地方？

感知器中，使用梯度下降法找到该处。

1.2.5 梯度下降法：理解

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。

假设场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(找到山的最低点，山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低；因此，下山的路径就无法确定，必须利用自己周围的信息一步一步地找到最快下山的路。

利用梯度下降算法来帮助自己下山：首先以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着这个方向走一步（一段距离），然后又继续以当前位置为基准，再找最陡峭的地方，再走直到最后到达最低处。

 1.2.6 梯度下降法：梯度

梯度：函数在该点的方向导数（偏导数）。

梯度一个向量，表示函数在该点处沿着该方向（梯度的方向）变化最快，变化率最大（梯度的模）。

如果损失函数代表着一座山，目标是找到这个函数的最小值（山底）， 最快的下山的方式是沿着当前位置最陡峭的方向（梯度相反的方向）走，函数值下降最快，不断的反复直到走到函数的最小值。

 1.2.7 权重更新

更新公式：新的参数 = 旧的参数 - 学习率*梯度

通过学习率(Learning rate)来定义每次参数更新的幅度，也叫学习步长。 学习率是一个超参数，可以预习设定，也可以通过超参数调优选择。

 其中    是学习率，控制更新步长，训练人为设定0-1的值；负号表示梯度的反方向，变化率表示梯度的模。

1.3 感知器训练与门代码

与门真值表为训练集。

import numpy as np

def get_xy_data():
    """ 与门的训练集 -- 真值表 """
    x = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
    y = np.array([0, 0, 0, 1])
    return x,y

感知器与门模型：

import numpy as np

""" 定义感知器模型结构 """
class AndGateModel():
    def __init__(self):
        """ 初始化权重、偏置 """
        self.w = np.random.normal(size=2)    # 与门有2个权重
        self.b = np.random.normal(size=1)    # 1个偏置[0.5]
        self.lr = 0.1                        # 学习率(超参数)

    def forward(self, x):
        """
        前向计算
        x -- [x1, x2]
        1. y=wx + b
        2. 激活函数计算
        """
        y = x[0]*self.w[0] + x[1]*self.w[1] + self.b[0]
        if y >= 0:
            return 1
        else:
            return 0

    def train(self, X, Y):
        """
        X,Y -- 训练集
        """
        for i in range(1000):   # 迭代
            j = 0
            C = 0
            for xi in X:
                yi = self.forward(xi)  # 前向计算
                # 计算误差
                Ci = np.power((Y[j] - yi), 2) / 2
                C += Ci
                # 更新权重跟偏置
                if Ci > 0:
                    self.w[0] = self.w[0] + self.lr * (Y[j] - yi) * xi[0]
                    self.w[1] = self.w[1] + self.lr * (Y[j] - yi) * xi[1]
                    self.b[0] = self.b[0] + self.lr * (Y[j] - yi)
                j += 1
            print("epoch 误差: 权重: 偏置:".format(i, C, self.w, self.b))
            # 什么时候退出?
            if C <= 0:
                print("=== 与门的4数据都正确了, 退出迭代")
                break

训练与门模型并保存参数：

if __name__ == "__main__":
    # 训练
    import data_manager
    X, Y = data_manager.get_xy_data()  # 读取数据集
    model = AndGateModel()            # 实例化类对象
    model.train(X, Y)               # 执行训练
    # 验证训练结果是否正确
    for xi in X:
        print("验证  输入:   模型的前向计算结果:".format(xi, model.forward(xi)))
    # 保存模型参数
    np.savez("./params", model.w, model.b)

读取模型参数并预测数据：

import numpy as np

if __name__ == "__main__":
    # 加载参数
    r = np.load("./params.npz")
    print("权重", r["arr_0"])
    print("偏置", r["arr_1"])
    # 设置参数到网络结构
    import model
    and_model = model.AndGateModel()
    and_model.w = r["arr_0"]
    and_model.b = r["arr_1"]
    # 预测
    X = [[0,0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]
    for xi in X:
        print("预测  输入:  结果:".format(xi, and_model.forward(xi)))

结果如下：

python .\\model.py

python .\\predict_demo.py：

 完整代码：https://download.csdn.net/download/qq_21386397/87567242

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