树(二叉树)的性质

Posted 2021-12-18 之墨_

树(二叉树)的性质

一棵结点个数为n、高度为h的m（m≥3）次树中，其分支数是（ ）
A.nh
B.n+h
C.n-1
D.h-1

由于二叉树中除了根结点以外，每个结点都有唯一的一个分支指向它，因此二叉树中：总分支数=总结点数-1

若一棵度为7的树有7个度为2的结点，有6个度为3的结点，有5个度为4的结点，有4个度为5的结点，有3个度为6的结点，有2个度为7的结点，该树一共有（ ）个叶子结点

A.35
B.28
C.77
D.78

根据二叉树的性质，叶子结点数 = 总度数+1 - 非叶子结点总数，
即 7*2+6*3+5*4+4*5+3*6+2*7+1-(7+6+5+4+3+2) = 78

有一棵三次树，其中n3=2，n2=1，n0=6，则该树的结点个数为
A.9
B.10
C.12
D.大于等于9的任意整数

由树的性质 总结点数 = 总度数（总分支数）+1
所以 结点数x = 6+2+度数为1的结点数y+1
所以x = 9+y 即x ≥ 9

一棵度为5、结点个数为n的树采用孩子链存储结构时，其中空指针域的个数是（ ）
A.5n
B.4n+1
C.4n
D.4n-1

孩子链五次树中，每个结点有五个指针，要么指向孩子结点要么为空，
那么总指针数为：5n，空指针数为：n-1（即边数）
所以，空指针数为5n-(n-1) = 4n-1

一棵完全二叉树中有1001个结点，其中度为1的结点个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.不确定

完全二叉树的度为1结点数，即为只有左子树或者右子树的节点数量
对于完全二叉树
只可能存在一种情况
节点数为奇数时有一个节点只有一个左子树，所以n1 = 0 || 1

设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含的结点数至少为
A.2h
B.2h-1
C.2h+1
D.h+1

结点数最少的情况如图
图源
除根节点以外，每层都有两个结点，则2(h-1) + 1 = 2h-1

一棵完全二叉树中有501个叶子结点，则至少有（ ）个结点
A.501
B.502
C.1001
D.1002

满二叉树中，应该有 2^(10-1) = 512 个叶子结点（思路）
缺少的叶子结点为
而10层的满二叉树有2^10 - 1 = 1023个结点
设结点数为x
所有缺少的结点都是最后一行缺少的结点：数量为 1023-x
而最后一行的结点数就等于：512-(1023-x) = x-511
由完全二叉树的结构可知缺少的结点数(1023-x)/2就是倒数第二行的叶子结点数量，若1023-x为奇数则向上取整
所以 x-511 + (1023-x)/2 = 501
解得x = 1001

由树的性质：n = n0 + n1 + n2
二叉树的性质： n0 = n2 + 1
两式联立 n = 2n0 + n1 - 1
因为完全二叉树中，n1=0或1
所以 n = 1002 或 1001

设有一棵哈夫曼树的结点总数为35，则该哈夫曼树共有（ ）个叶子结点
A. 18
B. 20
C. 35
D. 30

哈夫曼树中，只有度数为0或为2的结点
本题中，假设为满二叉树
则总结点数为2⁵-1=31,最后一行应该有2⁴ = 16个叶子结点
但多出了四个节点，则多了两个度数为2的结点和四个度数为0的结点
所以叶子结点数为16-2+4 = 18