leetcode打卡--441. 排列硬币

Posted 2021-10-28 C_YCBX Py_YYDS

文章目录

• • 题目
  • 解题思路
  • • 法一：暴力遍历 O(N)
    • 法二：利用数学公式二分 O(logN)
    • 法三：数学求根公式法 O(1)

题目

题目描述

你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。

题目要求

给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。

示例

解题思路

法一：暴力遍历 O(N)

class Solution {
public:
    int arrangeCoins(int n) {
        int i;
        long sum = 0;

        if (n == 1)
            return 1;

        for (i = 1; i < n; i++)
        {
            sum += i;
            if (sum > n)
                break;
        }

        return i - 1;
    }
};

法二：利用数学公式二分 O(logN)

• 注意利用公式的坑点：溢出！！！

由于是等差数列，可用等差数列求和公式，
(首项+末项)*项数/2，为了便于对溢出的控制，建议把分数的分子拆到与比较项相乘。

class Solution {
public:
    int arrangeCoins(int n) {
        int l = 1, r = sqrt(n) * 2;
        while (l < r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long long)mid * (mid + 1) < (long long)n * 2) {
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid;
            }
        }
        if ((long long)l * (l + 1) / 2 == n)
            return l;
        return l - 1;
    }
};

法三：数学求根公式法 O(1)

• 根据 $(x+1)\ast x/2=n$ 得出下面的一元二次方程：

$$x^2+x-2n=0$$

由于 $n>=1$ ，所以判别式：
$$\Delta =b^2-4ac=8n+1>0$$
故存在两根：
$$x_1=(-1-sqrt(\Delta ))/2$$
$$x_2=(-1+sqrt(\Delta ))/2$$

1. 由此可知 $x_1$ 必定小于0，故舍去。

2. 而 $x_2$ 的解可能不是整数，当它为小数的时候，我们把小数点舍去。也就是向下取整即可。

于是得到以下代码：

class Solution {
public:
    int arrangeCoins(int n) {
        return (int) ((sqrt((long long) 8 * n + 1) - 1) / 2);
    }
};