《画解数据结构》C语言基础讲解,三张动图,三十张彩图,画解二叉搜索树 (建议收藏)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了《画解数据结构》C语言基础讲解,三张动图,三十张彩图,画解二叉搜索树 (建议收藏)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
前言
我们知道,「 顺序表 」 可以 「 快速索引 」 数据,而 「 链表 」 则可以快速的进行数据的「 插入 和 删除 」。那么,有没有一种数据结构,可以快速的实现 「 增 」「 删 」「 改 」「 查 」 呢?
本文,我们就来聊一下一种 「 树形 」 的数据结构,它既有链表的快速插入与删除的特点,又有顺序表快速查找的优势。它就是:
「 二叉搜索树 」
二叉树的查找
二叉搜索树的删除
二叉搜索树的插入
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一、二叉树的概念
在学习二叉搜索树之前,我们首先需要了解下什么是二叉树。
1、二叉树的性质
二叉树是一种树,它有如下几个特征:
1)每个结点最多 2 棵子树,即每个结点的孩子结点个数为 0、1、2;
2)这两棵子树是有顺序的,分别叫:左子树 和 右子树;
3)如果只有一棵子树的情况,也需要区分顺序,如图所示:
b
b
b 为
a
a
a 的左子树;
c
c
c 为
a
a
a 的右子树;
2、特殊二叉树
1)斜树
所有结点都只有左子树的二叉树被称为左斜树。
所有结点都只有右子树的二叉树被称为右斜树。
斜树有点类似线性表,所以线性表可以理解为一种特殊形式的树。
2)满二叉树
对于一棵二叉树,如果它的所有根结点和内部结点都存在左右子树,且所有叶子结点都在同一层,这样的树就是满二叉树。
满二叉树有如下几个特点:
1)叶子结点一定在最后一层;
2)非叶子结点的度为 2;
3)深度相同的二叉树,满二叉树的结点个数最多,为
2
h
−
1
2^h-1
2h−1(其中
h
h
h 代表深度)。
3)完全二叉树
对一棵具有
n
n
n 个结点的二叉树按照层序进行编号,如果编号
i
i
i 的结点和同样深度的满二叉树中的编号
i
i
i 的结点在二叉树中位置完全相同,则被称为 完全二叉树。
满二叉树一定是完全二叉树,而完全二叉树则不一定是满二叉树。
完全二叉树有如下几个特点:
1)叶子结点只能出现在最下面两层。
2)最下层的叶子结点一定是集中在左边的连续位置;倒数第二层如果有叶子结点,一定集中在右边的连续位置。
3)如果某个结点度为 1,则只有左子树,即 不存在只有右子树 的情况。
4)同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小。
如下图所示,就不是一棵完全二叉树,因为 5 号结点没有右子树,但是 6 号结点是有左子树的,不满足上述第 2 点。
3、二叉树的性质
接下来我们来看下,二叉树有哪些重要的性质。
1)性质1
【性质1】二叉树的第 i ( i ≥ 1 ) i (i \\ge 1) i(i≥1) 层上至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点。
既然是至多,就只需要考虑满二叉树的情况,对于满二叉树而言,当前层的结点数是上一层的两倍,第一层的结点数为 1,所以第 i i i 的结点数可以通过等比数列公式计算出来,为 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1。
2)性质2
【性质2】深度为 h h h 的二叉树至多有 2 h − 1 2^{h}-1 2h−1 个结点。
对于任意一个深度为
h
h
h 的二叉树,满二叉树的结点数一定是最多的,所以我们可以拿满二叉树进行计算,它的每一层的结点数为
1
1
1、
2
2
2、
4
4
4、
8
8
8、…、
2
h
−
1
2^{h-1}
2h−1。
利用等比数列求和公式,得到总的结点数为:
1
+
2
+
4
+
.
.
.
+
2
h
−
1
=
2
h
−
1
1 + 2 + 4 + ... + 2^{h-1} = 2^h - 1
1+2+4+...+2h−1=2h−1
3)性质3
【性质3】对于任意一棵二叉树 T T T,如果叶子结点数为 x 0 x_0 x0,度为 2 的结点数为 x 2 x_2 x2,则 x 0 = x 2 + 1 x_0 = x_2 + 1 x0=x2+1
令
x
1
x_1
x1 代表度 为 1 的结点数,总的结点数为
n
n
n,则有:
n
=
x
0
+
x
1
+
x
2
n = x_0 + x_1 + x_2
n=x0+x1+x2
任意一个结点到它孩子结点的连线我们称为这棵树的一条边,对于任意一个非空树而言,边数等于结点数减一,令边数为
e
e
e,则有:
e
=
n
−
1
e = n-1
e=n−1
对于度为 1 的结点,可以提供 1 条边,如图中的黄色结点;对于度为 2 的结点,可以提供 2 条边,如图中的红色结点。所以边数又可以通过度为 1 和 2 的结点数计算得出:
e
=
x
1
+
2
x
2
e = x_1 + 2 x_2
e=x1+2x2 联立上述三个等式,得到:
e
=
n
−
1
=
x
0
+
x
1
+
x
2
−
1
=
x
1
+
2
x
2
e = n-1 = x_0+x_1+x_2 - 1 = x_1 + 2 x_2
e=n−1=x0+x1+x2−1=x1+2x2 化简后,得证:
x
0
=
x
2
+
1
x_0 = x_2 + 1
x0=x2+1
4)性质4
【性质4】具有 n n n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 \\lfloor log_2n \\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1。
由【性质2】可得,深度为
h
h
h 的二叉树至多有
2
h
−
1
2^{h}-1
2h−1 个结点。所以,假设一棵树的深度为
h
h
h,它的结点数为
n
n
n,则必然满足:
n
≤
2
h
−
1
n \\le 2^{h}-1
n≤2h−1 由于是完全二叉树,它一定比深度为
h
−
1
h-1
h−1 的结点数要多,即:
2
h
−
1
−
1
<
n
2^{h-1}-1 \\lt n
2h−1−1<n 将上述两个不等式,稍加整理,得到:
2
h
−
1
≤
n
<
2
h
2^{h-1} \\le n \\lt 2^h
2h−1≤n<2h 然后,对不等式两边取以2为底的对数,得到:
h
−
1
≤
l
o
g
2
n
<
h
h-1 \\le log_2n \\lt h
h−1≤log2n<h 这里,由于
h
h
h 一定是整数,所以有:
h
=
⌊
l
o
g
2
n
⌋
+
1
h = \\lfloor log_2n \\rfloor + 1
h=⌊log2n⌋+1
二、二叉树的存储
1、顺序表存储
二叉树的顺序存储就是指利用数组对二叉树进行存储。结点的存储位置即数组下标,能够体现结点之间的逻辑关系,比如父结点和孩子结点之间的关系,左右兄弟结点之间的关系 等等。
1)完全二叉树
来看一棵完全二叉树,我们对它进行如下存储。
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