二万字《算法和数据结构》三张动图，三十张彩图，C语言基础教学，之 二叉搜索树详解 (建议收藏)
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二万字《算法和数据结构》三张动图，三十张彩图，C语言基础教学，之 二叉搜索树详解 (建议收藏)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
前言
我们知道，「 顺序表 」 可以 「 快速索引 」 数据，而 「 链表 」 则可以快速的进行数据的「 插入 和 删除 」。那么，有没有一种数据结构，可以快速的实现 「 增 」「 删 」「 改 」「 查 」 呢？
本文，我们就来聊一下一种 「 树形 」 的数据结构，它既有链表的快速插入与删除的特点，又有顺序表快速查找的优势。它就是：
「 二叉搜索树 」
二叉树的查找
二叉搜索树的删除
二叉搜索树的插入
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一、二叉树的概念
在学习二叉搜索树之前，我们首先需要了解下什么是二叉树。
1、二叉树的性质
二叉树是一种树，它有如下几个特征：
1）每个结点最多 2 棵子树，即每个结点的孩子结点个数为 0、1、2；
2）这两棵子树是有顺序的，分别叫：左子树 和 右子树；
3）如果只有一棵子树的情况，也需要区分顺序，如图所示：
b
b
b 为
a
a
a 的左子树；
c
c
c 为
a
a
a 的右子树；
2、特殊二叉树
1）斜树
所有结点都只有左子树的二叉树被称为左斜树。
所有结点都只有右子树的二叉树被称为右斜树。
斜树有点类似线性表，所以线性表可以理解为一种特殊形式的树。
2）满二叉树
对于一棵二叉树，如果它的所有根结点和内部结点都存在左右子树，且所有叶子结点都在同一层，这样的树就是满二叉树。
满二叉树有如下几个特点：
1）叶子结点一定在最后一层；
2）非叶子结点的度为 2；
3）深度相同的二叉树，满二叉树的结点个数最多，为
2
h
−
1
2^h-1
2h−1（其中
h
h
h 代表深度）。
3）完全二叉树
对一棵具有
n
n
n 个结点的二叉树按照层序进行编号，如果编号
i
i
i 的结点和同样深度的满二叉树中的编号
i
i
i 的结点在二叉树中位置完全相同，则被称为 完全二叉树。
满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树则不一定是满二叉树。
完全二叉树有如下几个特点：
1）叶子结点只能出现在最下面两层。
2）最下层的叶子结点一定是集中在左边的连续位置；倒数第二层如果有叶子结点，一定集中在右边的连续位置。
3）如果某个结点度为 1，则只有左子树，即 不存在只有右子树 的情况。
4）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。
如下图所示，就不是一棵完全二叉树，因为 5 号结点没有右子树，但是 6 号结点是有左子树的，不满足上述第 2 点。
3、二叉树的性质
接下来我们来看下，二叉树有哪些重要的性质。
1）性质1
【性质1】二叉树的第 i ( i ≥ 1 ) i (i \\ge 1) i(i≥1) 层上至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点。
既然是至多，就只需要考虑满二叉树的情况，对于满二叉树而言，当前层的结点数是上一层的两倍，第一层的结点数为 1，所以第 i i i 的结点数可以通过等比数列公式计算出来，为 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1。
2）性质2
【性质2】深度为 h h h 的二叉树至多有 2 h − 1 2^{h}-1 2h−1 个结点。
对于任意一个深度为
h
h
h 的二叉树，满二叉树的结点数一定是最多的，所以我们可以拿满二叉树进行计算，它的每一层的结点数为
1
1
1、
2
2
2、
4
4
4、
8
8
8、…、
2
h
−
1
2^{h-1}
2h−1。
利用等比数列求和公式，得到总的结点数为：
1
+
2
+
4
+
.
.
.
+
2
h
−
1
=
2
h
−
1
1 + 2 + 4 + ... + 2^{h-1} = 2^h - 1
1+2+4+...+2h−1=2h−1
3）性质3
【性质3】对于任意一棵二叉树 T T T，如果叶子结点数为 x 0 x_0 x0，度为 2 的结点数为 x 2 x_2 x2，则 x 0 = x 2 + 1 x_0 = x_2 + 1 x0=x2+1
令
x
1
x_1
x1 代表度 为 1 的结点数，总的结点数为
n
n
n，则有：
n
=
x
0
+
x
1
+
x
2
n = x_0 + x_1 + x_2
n=x0+x1+x2
任意一个结点到它孩子结点的连线我们称为这棵树的一条边，对于任意一个非空树而言，边数等于结点数减一，令边数为
e
e
e，则有：
e
=
n
−
1
e = n-1
e=n−1
对于度为 1 的结点，可以提供 1 条边，如图中的黄色结点；对于度为 2 的结点，可以提供 2 条边，如图中的红色结点。所以边数又可以通过度为 1 和 2 的结点数计算得出：
e
=
x
1
+
2
x
2
e = x_1 + 2 x_2
e=x1+2x2 联立上述三个等式，得到：
e
=
n
−
1
=
x
0
+
x
1
+
x
2
−
1
=
x
1
+
2
x
2
e = n-1 = x_0+x_1+x_2 - 1 = x_1 + 2 x_2
e=n−1=x0+x1+x2−1=x1+2x2 化简后，得证：
x
0
=
x
2
+
1
x_0 = x_2 + 1
x0=x2+1
4）性质4
【性质4】具有 n n n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 \\lfloor log_2n \\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1。
由【性质2】可得，深度为
h
h
h 的二叉树至多有
2
h
−
1
2^{h}-1
2h−1 个结点。所以，假设一棵树的深度为
h
h
h，它的结点数为
n
n
n，则必然满足：
n
≤
2
h
−
1
n \\le 2^{h}-1
n≤2h−1 由于是完全二叉树，它一定比深度为
h
−
1
h-1
h−1 的结点数要多，即：
2
h
−
1
−
1
<
n
2^{h-1}-1 \\lt n
2h−1−1<n 将上述两个不等式，稍加整理，得到：
2
h
−
1
≤
n
<
2
h
2^{h-1} \\le n \\lt 2^h
2h−1≤n<2h 然后，对不等式两边取以2为底的对数，得到：
h
−
1
≤
l
o
g
2
n
<
h
h-1 \\le log_2n \\lt h
h−1≤log2n<h 这里，由于
h
h
h 一定是整数，所以有：
h
=
⌊
l
o
g
2
n
⌋
+
1
h = \\lfloor log_2n \\rfloor + 1
h=⌊log2n⌋+1
二、二叉树的存储
1、顺序表存储
二叉树的顺序存储就是指利用数组对二叉树进行存储。结点的存储位置即数组下标，能够体现结点之间的逻辑关系，比如父结点和孩子结点之间的关系，左右兄弟结点之间的关系 等等。
1）完全二叉树
来看一棵完全二叉树，我们对它进行如下存储。
的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章</p>
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《画解数据结构》C语言基础讲解，三张动图，三十张彩图，画解二叉搜索树 (建议收藏)
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