树——平衡二叉树

Posted 2021-10-07 牧鱼ys

定义

左右子树高度差的绝对值不超过1的二叉树称为平衡二叉树（Balanced Binary Tree），简称平衡树。
平衡因子：节点左子树和右子树的高度差为该结点的平衡因子。平衡二叉树的平和因子值只能为-1，0，1。

插入

这里讨论平衡二叉搜索树（AVL树）
二叉排序树保证平衡的基本思想如下:

• 每当在二叉排序树中插入（或删除）一个结点时，首先检查其插入路径上的结点是否因为此次操作而导致了不平衡。
• 若导致了不平衡，则先找到插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。

调整规律

LL平衡旋转（右单旋转）

由于在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。

将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点,将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。

RR平衡旋转（左单旋转)

由于在结点A的右孩子(R）的右子树(R）上插入了新结点,A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。
将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树，如图5.29所示。

LR平衡旋转（先左后右双旋转)

由于在A的左孩子(L)的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。

先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置，如图5.30所示。

RL平衡旋转（先右后左双旋转)

由于在A的右孩子(R）的左子树(L)上插入新结点,A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。

先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置，如图5.31所示。