P1447 [NOI2010] 能量采集

Posted 2021-09-25 Jozky86

P1447 [NOI2010] 能量采集

题意：

如果一棵植物与能量汇集机器(坐标为0，0)连接而成的线段上有 k 棵植物，则能量的损失为 2k + 1
给你一个n*m的植物园，问能量损失是多少
1<=n,m<=1e5

题解：

本题所求式子为：${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}gcd(i,j)\ast 2-1$
式子如何求的？
参考这个AcWing 201. 可见的点
对于90%的数据，直接for循环就行
但是现在是acm赛制，要都过
本题思路参考这个，我只能说太秒了
设f[x]为gcd(i,j)=x的数对(i,j)的个数
答案就是${\sum }_{x=1}^{n}f[x]\ast 2-1$
但是f[x]不好求啊
我们可以利用容斥来做
令g[x]为存在公因子=x的数对(i,j)的个数,注意不是最大公因数，而是存在公因子
$g[x]=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \ast \lfloor \frac{m}{x}\rfloor$
（1~n中是被x整除的数量为$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$）
但是这些数中有一些最大公因数为2d，3d，4d,这些数重复添加，所以我们需要删去
所以：f[x]=g[x]-${\sum }_{i\ast x=2\ast x}^{min(n,m)}f[i\ast x]$
从后向前枚举x，这样可以用已知的f[i*x]去更新f[x]
复杂度O(nlog n)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    startTime = clock ();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int N=100010;
int n,m;
ll f[N],ans;
ll g[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int i=n;i>=1;--i){
	    g[i]=1ll*(n/i)*(m/i);
	    for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
			g[i]-=f[j];
		f[i]=g[i];
	    ans+=(i*2-1)*f[i];
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}