ST表详解(稀疏表)

Posted 2021-09-17 C_YCBX Py_YYDS

文章目录

• • ST表简介
  • 动态规划的预处理(以2为倍数增加长度)
  • 区间查询的方法
  • 例题一：ST表模板题
  • 例题二：ST表变式例题
  • 例题三：ST表的思想解决多数求gcd

ST表简介

ST表（Sparse Table，稀疏表）是一种简单的数据结构，主要用来解决RMQ（Range Maximum/Minimum Query，区间最大/最小值查询）问题。它主要应用倍增的思想，可以实现 O(nlogn) 预处理、O(1) 查询。

所谓RMQ问题，以最大值为例，是假如有一个数列 A ，给你一个区间 [l , r] ,要求 max(A_i)，l<=i<=r。

ST表使用一个二维数组f，对于范围内的所有 f[a][b]，先算出并存储 max(A_i),a<=i<a+2^b（本文中的区间都是离散意义下的，只包含整数，所以此区间也可以写成 a<=i<=a+2^b-1 ），这称为预处理。查询时，再利用这些子区间算出待求区间的最大值。

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动态规划的预处理(以2为倍数增加长度)

为了减少时间复杂度，可以用动态规划的方法进行预处理：

int f[MAXN][21]; // 第二维的大小根据数据范围决定，不小于log(MAXN)，故遍历的时间复杂度是O(NlogN)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    f[i][0] = read(); // 读入数据
//这段转移过程的原理在于，先算出长度为2的区间max，再根据2的次数幂进一步扩散，而由于区间长度总是上一次的两倍，所以可以直接两个上一次的答案推出这次的答案，故得图下的状态转移过程
for (int i = 1; i <= 20; ++i)
    for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
        f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);

这个地方就是ST表的妙处之一，用第二维表示2的指数，也是一个很妙的思想了，这样大大节约了存储空间。

原理如下图所示：

注意1<<i 相当于 2^i 。

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区间查询的方法

比如我们要查询 [l , r] 的最大值，我们需要找到两个 [l , r] 的子区间，他们的并集恰好是 [l , r] （不需要严格不相交，只需要两者把整个区间包含）。具体地说，我们要找的是一个整数 s ，两个子区间分别为 [l , l+2^s-1] 和 [r-2^s+1 , r] 。

（如下图）

所以我们希望前一个子区间的右端点尽可能接近r。当 l+2^s-1=r 时，得到表达式 s=log2(r-l+1) ，由于 s 需要为整数，所以这个结果需要向下取整。

每次计算log太花时间了，我们可以对log也进行一次递推的预处理：

for (int i = 2; i <= n; ++i)
    Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;

当然这个过程也可以用 std::__lg() 这个函数来代替，它也是求log2的向下取整的值，同样也是O(1)复杂度。

• 有了以上过程的分析，查询过程的代码就出来了：

for (int i = 0; i < m; ++i)
{
    int l = read(), r = read();
    int s = Log2[r - l + 1];
    printf("%d\\n", max(f[l][s], f[r - (1 << s) + 1][s]));
}

其实ST表不仅能处理最大值/最小值，凡是符合结合律且可重复贡献的信息查询都可以使用ST表高效进行。什么叫可重复贡献呢？设有一个二元运算 f(x,y) ，满足 f(a,a) = a 则 f 是可重复贡献的。显然最大值、最小值、最大公因数、最小公倍数、按位或、按位与都符合这个条件。可重复贡献的意义在于，可以对两个交集不为空的区间进行信息合并。

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例题一：ST表模板题

P3865 【模板】ST 表

解题代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MaxN 100002
int f[MaxN][22];
int N, M;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();

    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')
            f = -1;

        ch = getchar();
    }

    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = x * 10 + ch - 48;
        ch = getchar();
    }

    return x * f;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &N, &M);

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        f[i][0] = read();
    }

    //更新f数组
    for (int i = 1; i < 22; i++) {
        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= N; j++) {
            f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
        }
    }

    //打印答案
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        int l = read();
        int r = read();
        int s = __lg(r - l + 1);
        printf("%d\\n", max(f[l][s], f[r - (1 << s) + 1][s]));
    }

    return 0;
}

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例题二：ST表变式例题

题目背景
每天,农夫 John 的N(1 <= N <= 50,000)头牛总是按同一序列排队. 有一天, John 决定让一些牛们玩一场飞盘比赛. 他准备找一群在对列中为置连续的牛来进行比赛. 但是为了避免水平悬殊,牛的身高不应该相差太大. John 准备了Q (1 <= Q <= 200,000) 个可能的牛的选择和所有牛的身高 (1 <= 身高 <= 1,000,000). 他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差别.
输入格式
第1行：N,Q
第2到N+1行：每头牛的身高
第N+2到N+Q+1行：两个整数A和B，表示从A到B的所有牛。（1<=A<=B<=N）
输出格式
输出每行一个数，为最大数与最小数的差

题目链接：

（洛谷P2880 [USACO07JAN]平衡的阵容Balanced Lineup）

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 50005
using namespace std;
int read()
{
    int ans = 0;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c))
        c = getchar();
    while (isdigit(c))
    {
        ans = ans * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return ans;
}
int Log2[MAXN], Min[MAXN][17], Max[MAXN][17];
int main()
{
    int n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int x = read();
        Min[i][0] = x;
        Max[i][0] = x;
    }
    //这里可以换成是std::__lg(),就没必要求这个Log2了
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
    for (int i = 1; i <= 16; ++i)
        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
        {//同时求出最大值区间和最小值区间
            Min[j][i] = min(Min[j][i - 1], Min[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
            Max[j][i] = max(Max[j][i - 1], Max[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
        }
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {//求出这个区间的最大值和最小值便可得到最大差值
        int l = read(), r = read();
        int s = Log2[r - l + 1];
        int ma = max(Max[l][s], Max[r - (1 << s) + 1][s]);
        int mi = min(Min[l][s], Min[r - (1 << s) + 1][s]);
        printf("%d\\n", ma - mi);
    }
    return 0;
}

例题三：ST表的思想解决多数求gcd

题目背景

“叮铃铃铃”，随着高考最后一科结考铃声的敲响，三年青春时光顿时凝固于此刻。毕业的欣喜怎敌那离别的不舍，憧憬着未来仍毋忘逝去的歌。1000多个日夜的欢笑和泪水，全凝聚在毕业晚会上，相信，这一定是一生最难忘的时刻！

题目描述

彩排了一次，老师不太满意。当然啦，取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为，从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度（即能力值的最大公约数）最大。但因为节目太多了，而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了，还是交给你吧~

PS：一个数的最大公约数即本身。

输入格式

第一行一个正整数n。

第二行为n个空格隔开的正整数，表示每个学生的能力值。

输出格式

总共n行，第i行为k=i情况下的最大默契程度。

题目链接：

洛谷P1414 又是毕业季II

解题分析：

我们想到，k个数的公约数含义就是这k个数均含有某个因数，如果我们把所有数的因数全部求出来，发现有k个数均含有某个因数，那么这个数必然是这k个数的公约数。其中找出最大的就是它们的最大公约数。

求出出现任取k个数的最大公约数后，我们发现有些数如果没有对应的次数，则一直是0未更新的状态，实际上我们只要约数出现次数大于了k次，都可以被 k 次当做结果来利用，所以还会出现一个状态转移过程：ans[k]=max(ans[k],ans[k+1]) 。意思就是选取大于k次的最大因子，实际上是可以为k次所用。

解题代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MaxM=1e6+5,MaxN=1e4+5;
int n,x,maxx,a[MaxM],b[MaxN];
void work(int x){
	for(int i=1;i*i<x;i++)
		if(x%i==0)a[i]++,a[x/i]++;
	int m=sqrt(x);
	if(m*m==x)a[m]++;//x是完全平方数，单独考虑 
}
void print(){
	for(int i=1;i<=maxx;i++)
		if(b[a[i]]<i)b[a[i]]=i;//b[t]表示出现t次的最大因子 
	for(int i=n-1;i>=1;i--)//递推 
		b[i]=max(b[i],b[i+1]);
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<b[i]<<endl;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		if(maxx<x)maxx=x;
		work(x);
	}
	print();
	return 0;
}