ST表算法入门详解

Posted 2020-11-25 soul-maker

 ST表算法入门详解

       关于ST表，有很多文章，这里本蒟蒻也来发一波~~ 希望能为您提供帮助~~

     1.ST表的介绍

     ST表算法全称Sparse-Table算法，是由Tarjan提出的一种解决RMQ问题（区间最值）的强力算法。离线预处理时间复杂度 θ（nlogn），在线查询时间 θ（1），可以说是一种非常高效的算法。不过ST表的应用场合也是有限的，它只能处理静态区间最值，不能维护动态的，也就是说不支持在预处理后对值进行修改。一旦修改，整张表便要重新计算，时间复杂度极高。动态最值可以用线段树、树状数组等来维护。

     2.ST表的一般实现

     ST表之所以广为使用，不仅因为它的时间复杂度优秀，还因为它的代码思路比较清晰，码量比较合适。核心的代码主要集中预处理和查询上。那么接下来我们就先来讲讲它的预处理（下面都以区间最小值来讲，最大值可以类推）。设st[i][j]表示从第 i 个数起向后连续2^j个数中的最小值。注意，是包括第 i 个数在内的2^j个数。那么，我们可以得到转移方程：

     1.st[i][0]=第i个数（很明显，2^0==1，从第i个数起向后数1个数，当然只有它自己。)

     2.st[i][j]=min{ st[i][j-1] , st[i+(1<<j-1)][j-1]}（j≠0）(其实也挺好理解的。请看下图：）

                                                      

      （把整个2的j次方区间分成两个2^(j-1)区间，那么整个大区间的最小值就是两个已计算过的区间最小值的最小值。第一个区间很明白，是st[i][j-1]，就是从左端点 i 起向右数2^(j-1) 个数。第二个区间长度还是2^(j-1)，但是左端点需要由 i 加上上一个区间的长度，毕竟它们是连在一起的。）

    以上，就是ST表的初始化部分。

    接下来，我们来讲讲查询。假设每次查询的左右端点分别为le和ri。思路：首先找到一个值k，k的含义是“最大的2^k不超过查询区间长度（ri-le+1）”。举个例子：le=1，ri=9，那么k最大为3，2^k==8,不超过区间长度。那么我们找两个长度为2^k的区间，一个以le为左端点，一个以ri为右端点。由于k最大，所以可以肯定，这两个小区间一定覆盖了整个大区间。那么，虽然两个小区间会有重叠部分，但是这里要求的是最小值，而非求和，所以这两个小区间最小值中的最小值，一定是整个区间的最小值！

    再细一点的说，一个区间为st[le][k],还有一个为st[ri-(1<<k)+1][k],那么：

    查询函数query(le,ri)=min{st[le][k],st[ri-(1<<k)+1][k]}。再次强调：重叠的小区间不影响整个区间的最小值！

    再总结一下查询的过程：1.找到k    2.返回两个st之间的最值

    到这里，ST表的一般实现已被剖析完毕。下面为大家提供多次查询区间最小值的代码。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define MX 100005
 3 using namespace std;
 4 int n,ans[(MX<<1)+MX<<3],st[MX][17];
 5 void getrd(){
 6     for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
 7         for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
 8             st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
 9 }
10 int query(int le,int ri){
11     int k=0;while(le+(1<<k+1)-1<=ri)k++;
12     return max(st[le][k],st[ri-(1<<k)+1][k]);
13 }
14 int main(){
15     int m;cin>>n>>m;
16     for(int i=1;i<=n;i++)cin>>st[i][0];
17     getrd();
18     for(int i=1;i<=m;i++){int le,ri;cin>>le>>ri;ans[i]=query(le,ri);}
19     for(int i=1;i<=m;i++)cout<<ans[i]<<endl;
20     return 0;
21 }

View Code

 

    3.浅谈ST表应用之LCA

    ST表算法其实真的很好理解的。下面我们来讲讲它的拓展应用：求LCA。如果你连LCA是啥都不知道，请务必缓一缓再读哈~~。LCA作为树状结构的高频考点，有多种算法和思路。主要是应用倍增算法。其实这题还可以用ST表来做，这样单次查询的时间就是θ（1）。此算法对于多次查询比较实用。

    怎么实现呢？首先，我们将给定的树的欧拉序列表示出来。什么叫欧拉序列呢？就是对这棵树进行DFS，每到一个点都把它的序号加入这个序列，比如以下这棵树：

 

    它的DFS序为1-2-4-5-6-3，这是每个点的访问顺序，但不是它的欧拉序列，因为欧拉序列每回溯一步都要记录。它的欧拉序列应该是：1-2-4-2-5-2-6-2-1-3。那么明白了欧拉序列有什么用呢？接下来，我们将欧拉序列中点的深度也一并表示出来：

    序号：1-2-4-2-5-2-6-2-1-3

    深度：0-1-2-1-2-1-2-1-0-1

    你会发现，两个点的LCA，就是以这两个点为左右端点的深度序列中深度最小的点的序号！比如，我们要查询点3和点4，首先在序号序列中找到它们，分别是第三个和最后一个序号，再到深度序列中以第三个点为左端点，最后一个点为右端点的子序列中寻找深度最小的点，发现是倒数第二个点，它的深度为0。那么，这个点就一定是它们的LCA。挺好理解的吧~~。

    那么接下来肯定有人要问了，如果要查询的点在序列中多次出现，怎么办呢？这种情况也不怕，随便选一次出现就好了！！！！比如上一例中的2号点，多次出现，可以随便选一个出现的位置来做。

    那么，这个算法的原理，以及可以随便选出现位置，的原理是什么呢？其实很简单，仔细想想就知道，就是在找两点间DFS访问的“岔路口”，而欧拉序列，相当于把整条路摊开，深度最小的，就是岔路口。算法实现也很简单了，先找出欧拉序列，再完善ST表，最后查询出结果~~

    4.朴实地结束

    谢谢！这篇博客就到此结束了！希望对你有帮助！喜欢的话记得点赞哦~~