算法小讲堂之ST表算法详解

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法小讲堂之ST表算法详解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

ST表

前言

一、简介

ST 表是一种基于 倍增 思想，用于解决 可重复贡献问题 的数据结构

关于上述提到的 可重复贡献问题 其中最出名的就是 RMQ 问题，即区间最大（小）值，虽然线段树也能解决这个问题，但是各有优缺点，首先两者的预处理复杂度都是 n l o g 2 n nlog_2n nlog2​n 但是 ST 表的查询效率是 O ( 1 ) O(1) O(1) 而线段树的效率是 l o g n log_n logn​ 显然在一些大量区间重复贡献 查询 问题上来说， ST 表还是有一定的优势，但是 ST 表不支持数据的修改，也就是只能查，而线段树的修改和查询的复杂度都是 l o g 2 n log_2n log2​n

如果按照 一般的倍增 思想的话，我们每次都是跳 2 i 2^i 2i 步，那么查询的复杂度还是 l o g 2 n log_2n log2​n 但是由于我们查询的数据是满足 可重复贡献 的，所以我们只需要提前处理一下重叠的区间（其实就是将当前的区间分成两部分查过的区间，然后合并查询一下）

二、原理

在上面的简介中其实也说了 ST 表的原理，其实就是将我们当前查询的区间分成两部分，假设我们用 f [ j ] [ i ] f[j][i] f[j][i] 表示 [ j , j + 2 i − 1 ] [j,j+2^i-1] [j,j+2i−1] 这个区间的一个最大值，我们可以用下图来表示

前半段就是已经求出来的 [ j , j + 2 i − 1 − 1 ] [j,j+2^i-1-1] [j,j+2i−1−1] 的区间最大值，而后半段就是 [ j + 2 i − 1 , j + 2 i − 1 ] [j+2^i-1,j+2^i-1] [j+2i−1,j+2i−1] 的区间最大值，那么整个 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j−1] 区间的最大值就是两区间的最大值的最大值，也就是去一个 m a x ( m a x ( [ j , j + 2 i − 1 − 1 ] ) , m a x ( [ j + 2 i − 1 , j + 2 i − 1 ] ) ) max(max([j,j+2^i-1-1]),max([j+2^i-1,j+2^i-1])) max(max([j,j+2i−1−1]),max([j+2i−1,j+2i−1])) 即可

那么我们继续思考如何得到 f [ j ] [ i ] f[j][i] f[j][i] 的值呢？不难发现其实就是我们上面推导的式子： f [ j ] [ i ] = m a x ( f [ j ] [ i − 1 ] , f [ j + 2 i − 1 , i − 1 ] ) f[j][i] = max(f[j][i-1],f[j+2^i-1,i-1]) f[j][i]=max(f[j][i−1],f[j+2i−1,i−1])

其实这里也能看出 2 i = 2 i − 1 + 2 i − 1 2^i = 2^i-1 + 2^i-1 2i=2i−1+2i−1

不难得出预处理的递推代码：

void init(int n)
	for(int i = 1;i <= 20; ++i)
		for(int j = 1;(j+(1<<i)-1) <= n; ++j)
			f[j][i] = max(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);

然后继续的问题就是对于一个区间的查询，我们怎么做到 O ( 1 ) O(1) O(1) 的复杂度查询，假设当前的查询区间为 [ L , R ] [L,R] [L,R]

那么我们可以知道这个区间的长度为：
l e n = R − L + 1 len = R - L + 1 len=R−L+1

我们希望能找到两个区间 [ l 1 , r 1 ] ， [ l 2 , r 2 ] [l_1,r_1]，[l_2,r_2] [l1​,r1​]，[l2​,r2​] 让这两个区间的并集为我们需要查询的区间 [ L , R ] [L,R] [L,R] ，于是我们可以表示为这两个区间：

[ L , L + 2 s − 1 ] [L,L+2^s-1] [L,L+2s−1] 和 [ R − 2 s + 1 , r ] [R-2^s+1,r] [R−2s+1,r] 两个区间，那么我们肯定想让两个区间重合的高一点，毕竟在极限数据，例如区间长度为 1 、 2 1、2 1、2 的时候也能覆盖上，那么我们会发现当 L + 2 s − 1 = R L+2^s-1 = R L+2s−1=R 或者 R − 2 s + 1 = L R-2^s+1 = L R−2s+1=L 的时候就是极限值了于是我们得到了 s = l o g 2 ( R − L + 1 ) = l o g 2 ( l e n ) s = log_2(R-L+1) = log_2(len) s=log2​(R−L+1)=log2​(len)

于是得到了查询的代码：

inline int query(int L,int R)
	int s = log2(R-L+1);
	return max(f[L][s],f[R-(1<<s)+1][s]);

当然了，这样查询的话每次都要求一个 l o g 2 log_2 log2​ 可能会增加常数，于是我们可以对 l o g 2 log_2 log2​ 进行递推的预处理：

for(int i = 2;i <= n; ++i)
    log2[i] = log2[i/2] + 1;

三、例题

3.1 题目连接

P3865 【模板】ST 表

3.2 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define endl "\\n"
#define PII pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f

#define N 100000+10

int f[N][30],n,m;

void init(int n)
	for(int i = 1;i <= 20; ++i)
		for(int j = 1;(j+(1<<i)-1) <= n; ++j)
			f[j][i] = max(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);


inline int query(int L,int R)
	int s = log2(R-L+1);
	return max(f[L][s],f[R-(1<<s)+1][s]);


int main()
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