[洛谷 P3381] 最小费用最大流 | 模板 Bellman-Ford寻找增广路 入门

Posted 2021-09-16 PushyTao

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题目描述

给出一个包含 $n$ 个点和 $m$ 条边的有向图（下面称其为网络） $G=(V,E)$，该网络上所有点分别编号为 $1\sim n$，所有边分别编号为 $1\sim m$，其中该网络的源点为 $s$，汇点为$t$，网络上的每条边 $(u,v)$ 都有一个流量限制 $w(u,v)$和单位流量的费用 $c(u,v)$。

你需要给每条边 $(u,v)$ 确定一个流量 $f(u,v)$，要求：

1. $0\le f(u,v)\le w(u,v)$ （每条边的流量不超过其流量限制）；
2. ∀ p ∈ { V ∖ { s , t } } \\forall p \\in \\{V \\setminus \\{s,t\\}\\} ∀p∈{V∖{s,t}}，${\sum }_{(i,p)\in E}f(i,p)={\sum }_{(p,i)\in E}f(p,i)$（除了源点和汇点外，其他各点流入的流量和流出的流量相等）；
3. ${\sum }_{(s,i)\in E}f(s,i)={\sum }_{(i,t)\in E}f(i,t)$ （源点流出的流量等于汇点流入的流量）。

定义网络 $G$ 的流量 $F(G)={\sum }_{(s,i)\in E}f(s,i)$，网络 $G$ 的费用 $C(G)={\sum }_{(i,j)\in E}f(i,j)\times c(i,j)$。

你需要求出该网络的最小费用最大流，即在 $F(G)$ 最大的前提下，使 $C(G)$ 最小。

输入格式

输入第一行包含四个整数 $n,m,s,t$，分别代表该网络的点数 $n$，网络的边数 $m$，源点编号 $s$，汇点编号 $t$。
接下来 $m$ 行，每行四个整数 $u_i,v_i,w_i,c_i$，分别代表第 $i$ 条边的起点，终点，流量限制，单位流量费用。

输出格式

输出两个整数，分别为该网络的最大流 $F(G)$，以及在 $F(G)$ 最大的前提下，该网络的最小费用 $C(G)$。

输入输出样例

4 5 4 3
4 2 30 2
4 3 20 3
2 3 20 1
2 1 30 9
1 3 40 5

50 280

说明/提示
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 5\times 10^4$ ， $1\le m\le 5\times 10^4$ ，$1\le s$ ,$t\le n$ ，$0\le w_i,c_i\le 10^3$ ，且该网络的最大流和最小费用 $\le 2^{31}-1$
输入数据随机生成。

思路：
和EK算法类似，但每次用$Bellman-Ford$ 算法而非$BFS$（其实差不多）找增广路。
只要初始流是该流量下的最小费用可行流，每次增广之后的新流都是新流量下的最小费用流。
费用值可正可负

typedef pair<ll, ll> PLL;
struct Edge {
    int u, v, cap, flow, cost;
    Edge(int _u, int _v, int _cap, int _flow, int _cost) {
        u = _u, v = _v, cap = _cap, flow = _flow, cost = _cost;
    }
};
struct MinCostMaxFlow {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int vis[maxn], dis[maxn], p[maxn], a[maxn];
    void init(int x) {
        this->n = x;
        for (int i = 0; i <= x; i++) G[i].clear();
        edges.clear();
    }
    void add(int u, int v, int cap, int cost) {
        edges.push_back(Edge(u, v, cap, 0, cost));
        edges.push_back(Edge(v, u, 0, 0, -cost));
        m = edges.size();
        G[u].push_back(m - 2);
        G[v].push_back(m - 1);
    }
    bool BellmanFord(int s, int t, ll &flow, ll &cost) {
        for (int i = 0; i <= n; i++) dis[i] = 0x3f3f3f3f;
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        queue<int> que;
        que.push(s);
        dis[s] = 0, vis[s] = 0, p[s] = 0, a[s] = 0x3f3f3f3f;
        while (que.size()) {
            int u = que.front();
            que.pop();
            vis[u] = 0; /// not in the queue
            for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
                int id = G[u][i];
                Edge e = edges[id];
                int to = e.v;
                if (e.cap > e.flow && dis[to] > dis[u] + e.cost) {
                    dis[to] = dis[u] + e.cost;
                    p[to]   = id;
                    a[to]   = min(a[u], e.cap - e.flow);
                    if (!vis[to]) {
                        que.push(to[洛谷 P3381] 最小费用最大流 | 模板 Bellman-Ford寻找增广路 入门

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