人工智能数学基础---定积分8：无穷限反常积分审敛法

Posted 2021-09-05 LaoYuanPython

一、引言

在《人工智能数学基础—定积分6：无穷限函数的反常积分计算》介绍了无穷限函数的反常积分概念、计算方法以及收敛性的判断方法，通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限的存在与否来判定是否收敛。除了这条路，还有一种反常积分收敛性的判断方法。这就是本节要介绍的无穷限函数的反常积分审敛法。

所谓审敛法就是判断函数或级数是否收敛的方法。

二、无穷限反常积分审敛法

无穷限的反常积分的无穷限是指区间[a，+∞），a∈R，如无特别说明，下面介绍的内容都是基于此为前提。

2.1、函数值大于等于0且有界连续函数的无穷限反常积分收敛

定理1：设函数f(x)在区间[a，+∞）上连续，且f(x)≥0，若f(x)对应的无穷限积分上限函数：

在区间[a，+∞）上有上界，则下面的反常积分收敛：

这是因为f(x)≥0，故F(x)在区间[a，+∞）上单调递增，又F(x)在[a，+∞）上有上界，因此F(x)在区间[a，+∞）上是单调有界函数，因此F(x)必有极限，因此该反常积分收敛。

2.2、比较审敛原理

定理2：设函数f(x)、g(x)在区间[a，+∞）上连续，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x<+∞)，并且g(x)在[a，+∞）上的无穷限反常积分收敛，那么f(x))在[a，+∞）上的无穷限反常积分也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x<+∞)，并且g(x)在[a，+∞）上的无穷限反常积分发散，那么f(x))在[a，+∞）上的无穷限反常积分也发散。

这个定理的证明非常容易，在此不进行介绍。

2.3、比较审敛法1

定理3：设函数f(x)在区间[a，+∞）（a>0）上连续，且f(x)≥0，如果存在常数M>0及p>1，使得f(x)≤M/x^p(a≤x<+∞)，那么f(x)在区间[a，+∞）（a>0）对应的无穷限反常积分收敛；如果存在常数N>0，使得f(x)≥N/x，那么f(x)在区间[a，+∞）（a>0）对应的无穷限反常积分发散。

证明思路：

在《人工智能数学基础—定积分6：无穷限函数的反常积分计算》例3证明了函数f(x)=1/x^p在[a，+∞)（a>0）上当p>1时收敛，当p≤1时发散，取g(x)=A*f(x)(A>0)，即可求证。

应用案例：

2.4、极限审敛法1

定理4：设函数f(x)在区间[a，+∞）上连续，且f(x)≥0，如果存在常数p>1，使得x->+∞时x^pf(x)的极限存在且等于c（c小于+∞），那么f(x)在区间[a，+∞）上对应的无穷限反常积分收敛；如果x->+∞时xf(x)的极限存在且等于d（d>0），那么f(x)在区间[a，+∞）对应的无穷限反常积分发散。

我们首先来看书上的证明：

老猿很花了点时间去理解这个证明，上述证明在证明两个结论时，都使用了极限的定义，第一个结论证明时，将无穷限的反常积分分成了一个定积分和一个无穷限反常积分之和，并证明拆分后的那个反常积分是收敛的从而证明出整个无穷限反常积分收敛。第二个结论证明时，同样用极限定义，却证明了f(x)的反常积分发散。感觉只是因为取的极限定义中的ε不同值导致的，是否反过来取ε值结论会不一样呢？

两个结论的证明过程如果反过来取ε的值，第一个只能证明f(x)大于一个存在收敛的无穷限反常积分函数，但这既不能证明f(x)收敛、又不能证明f(x)发散，同样第二个只能证明f(x)小于一个无穷限反常积分发散的函数，同样既不能证明f(x)收敛、又不能证明f(x)发散。

这里的根本原因是由于函数f(x)=1/x^p在[a，+∞)（a>0）上当p>1时收敛，当p≤1时发散，因此只能使用文中的方法去证明才能得出可靠的结论。

应用案例：

2.5、绝对收敛

定理5：设函数f(x)在区间[a，+∞）上连续，如果反常积分：

收敛，那么反常积分：

也收敛。

**证明思路：**令φ(x) = (f(x0+|f(x)|)/2，可知φ(x)≤|f(x)|，可得φ(x) 的反常积分收敛，而f(x)是φ(x)-|f(x)|，因此两个收敛的反常积分差也收敛。

定理5可以简述为：绝对收敛的反常积分必定收敛。

应用案例：

三、小结

本文介绍了连续函数在无穷限（这里说的无穷限是指[a，+∞)）区间的反常积分收敛性判断的几个方法，包括判断函数值大于等于0且有界、比较审敛原理、比较审敛法1、极限审敛法1以及绝对收敛法等，通过这些方法可以脱离原函数来判断无穷限反常积分是否收敛。

注：这里比较审敛法1、极限审敛法1都带有1，是因为这两个方法对无界函数也有类似规则。

说明：

本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

写博不易，敬请支持：

如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！

关于老猿的付费专栏

1. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程，对应文章目录为《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》；
2. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》；
3. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏，是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合，相关资料基本上都是老猿反复研究的成果，有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录 》
4. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容，包括爬虫入门的基础知识，以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。

前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习，第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。

对于缺乏Python基础的同仁，可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏：Python基础教程目录）从零开始学习Python。

如果有兴趣也愿意支持老猿的读者，欢迎购买付费专栏。

老猿Python，跟老猿学Python！

☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython ░