人工智能数学基础---定积分7：无界函数的反常积分计算

Posted 2021-09-05 LaoYuanPython

一、引言

在前面几篇文章中介绍了定积分的相关概念、性质和计算方法，具体文档请参考《人工智能数学基础专栏目录》导数、微分与积分部分的介绍。前面介绍的定积分都是基于有限固定区间来介绍的，但在实际中经常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的情况，这些求积分的计算已经不属于前面介绍的定积分的概念，它们都属于反常积分。本节介绍无界函数反常积分的计算方法。

二、无界函数反常积分相关概念

2.1、无界函数的瑕点和瑕积分

如果函数f(x)在点a的任意邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点（也称为无界间断点）。

无界函数的反常积分也称为瑕积分。

2.2、无界函数的反常积分

2.2.1、下区间无界函数的反常积分

设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，任取t>a，作定积分并求极限：

这个对变下限的的定积分求极限的算式4-4称为函数f(x)在区间（a,b]上的反常积分，同样记为与函数f(x)在区间[a,b]上的定积分相同的表达式，即：

2.2.2、上区间无界函数的反常积分

与下区间无界函数类似，也有上区间无界函数，设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，任取t<b，作定积分并求极限：

这个对变上限的的定积分求极限的算式4-5称为函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分，同样记为与函数f(x)在区间[a,b]上的定积分相同的表达式，即：

2.2.3、区间内的无界函数的反常积分

设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点，f(x)在区间[a,c)上的反常积分与在区间(c,b]上的反常积分之和称之为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，仍然记作：

即：

2.3、无界函数反常积分的收敛性

三种无界函数反常积分收敛性的定义：

1. 设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，如果极限（4-4）存在，那么称f(x)在区间（a,b]上的反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值。如果对应极限不存在，则称f(x)在区间（a,b]上的反常积分发散。
2. 设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，如果极限（4-5）存在，那么称f(x)在区间[a,b)上的反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值。如果对应极限不存在，则称f(x)在区间[a,b)上的反常积分发散。
3. 设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点，如果f(x)在区间[a,c)上的反常积分和在区间(c,b]上的反常积分都收敛，那么称函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分收敛，并称f(x)在区间[a,c)上的反常积分值与在区间(c,b]上的反常积分值的和为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分值，否则对应反常积分发散。

三、案例

案例1

这个反常积分表示如下阴影部分的面积：

案例2：

为什么q>1积分发散呢，这是因为（x-a）^1-q因为指数为负数，实际上应该是1/(x-a)^q-1，其分母极限为0导致的。

四、全开区间无界函数反常积分

上面介绍的无界函数的反常积分都是在半开有限区间或闭区间中存在一个瑕点的情况，但实际上可能会遇到全开区间（两个端点可能是瑕点）或无穷区间的情况。这种情况下，在满足一定条件下，可以通过换元法化为有限区间的无界函数。

案例：

四、小结

本节介绍了无界函数的反常积分概念，三种无界函数反常积分在瑕点的极限值如果存在，则无界函数的反常积分存在且收敛，同样可以利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算则无界函数的反常积分，否则该反常积分发散，无法求出。

实际上无论是无穷限函数还是无界函数，其反常积分如果存在，都可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，通过计算极限结合牛顿-莱布尼茨公式计算出最终结果。

说明：

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