人工智能数学基础---定积分6：无穷限函数的反常积分计算

Posted 2021-09-05 LaoYuanPython

一、引言

在前面几篇文章中介绍了定积分的相关概念、性质和计算方法，具体文档请参考《人工智能数学基础专栏目录》导数、微分与积分部分的介绍。前面介绍的定积分都是基于有限固定区间来介绍的，但在实际中经常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的情况，这些求积分的计算已经不属于前面介绍的定积分的概念，它们都属于反常积分。本节介绍积分区间为无穷区间的无穷限反常积分的计算方法。

二、无穷限的反常积分

2.1、[a,+∞）无穷限的反常积分

2.1.1、定义

设函数f(x)在区间[a,+∞） 上连续，任取 t>a，作被积函数f(x)在区间[a,+∞] 上的定积分，再求极限：

这个对变上限定积分的算式（4-1）称为函数f（x）在无穷区间[a,+∞）上的反常积分，记为：

即：

2.1.2、无穷区间[a,+∞） 上的反常积分的收敛与发散

设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续 ，如果极限（4-1）存在，那么称函数f（x）在无穷区间[a,+∞）上的反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限（4-1）不存在，那么称该反常积分发散。

2.2、(-∞,b]无穷限的反常积分

2.2.1、定义

设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，任取 t<b，作被积函数f(x)在区间(-∞,b]上的定积分，再求极限：

这个对变下限定积分的算式（4-2）称为函数f（x）在无穷区间(-∞,b]上的反常积分，记为：

即：

2.2.2、无穷区间(-∞,b] 上的反常积分的收敛与发散

设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续 ，如果极限（4-2）存在，那么称函数f（x）在无穷区间(-∞,b]上的反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限（4-2）不存在，那么称该反常积分发散。

2.3、(-∞,+∞)无穷限的反常积分

2.3.1、定义

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，函数f（x）在无穷区间(-∞,0]上的反常积分和无穷区间[0,+∞)上的反常积分之和称为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分，记为：

这个对变下限定积分的算式（4-2）称为函数f（x）在无穷区间(-∞,b]上的反常积分，记为：

即：

2.3.2、无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分的收敛与发散

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续 ，如果函数f（x）在无穷区间(-∞,0]上的反常积分和在无穷区间[0,∞)上的反常积分都收敛，那么称函数f（x）在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分收敛，并称函数f（x）在无穷区间(-∞,0]上的反常积分与在无穷区间[0,∞)上的反常积分之和为函数f（x）在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分的值；否则称函数f（x）在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分发散。

2.4、无穷限反常积分的计算

函数f（x）在无穷区间(-∞,0]、[0,∞)以及(-∞,+∞)上的三种反常积分统称为无穷限的反常积分。

对于这三种类型的无穷限反常积分，结合牛顿-莱布尼茨公式，如果对应极限存在，可得如下结果：

以上三个式子，是必须等式右边的极限（第三个是两个极限）存在时才成立，否则对应的无穷限反常积分就是发散的。

三、反常积分计算案例

案例1：

这个反常积分的几何意义是：当a->-∞、b>+∞时，虽然图5-9的阴影部分向左右无限延伸，但其面积却有着极限值π，简单地说，它就是位于被积函数对应曲线的下方、x轴上方的图形面积。

案例2：

注意，上面解题过程最后一行te^-pt=t/e^pt，这是无穷大与无穷大的商的未定式，可以用《人工智能数学基础：求导神器–罗必塔法则》介绍的罗必塔法则求极限。

案例3：

因此，当p大于1时，该反常积分收敛，p小于等于1时发散。

四、小结

本节介绍了无穷限的反常积分的概念，函数f（x）在无穷区间(-∞,0]、[0,∞)以及(-∞,+∞)上的三种反常积分统称为无穷限的反常积分，这种反常积分当其无穷限对应的积分函数极限存在则可以利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算，如果对应无穷限的积分函数值不存在，则该反常积分发散，无法求出。

说明：

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