人工智能数学基础---定积分4:使用换元法计算定积分

Posted LaoYuanPython

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了人工智能数学基础---定积分4:使用换元法计算定积分相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、引言

在《人工智能数学基础–不定积分2:利用换元法求不定积分》介绍了三种换元法求不定积分的方法及案例,在《人工智能数学基础—定积分3:微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)》介绍了可以使用微积分基本公式–牛顿-莱布尼茨公式计算定积分,那么在一定条件下利用换元法求定积分就是显而易见的可行方法。

二、换元公式

2.1、换元公式定理

定理:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x=Φ(t)满足条件:

  1. Φ(α) = a,Φ(β) = b;
  2. Φ(t)在区间[α,β]上(或[β,α]上)具有连续导数,且其值域RΦ=[a,b],或者值域RΦ虽然超出[a,b],但f(x)在RΦ上连续,则有:

    公式(3-1)叫做定积分的换元公式

可以看到,该公式与不定积分换元法的第二个公式的区别有两点,一是符号由不定积分变为了定积分,二是等式右边没有加t为x的反函数值的说明,这是因为可以通过t直接进行定积分值的计算,不需要还原到x再计算,具体请见下面的说明。

**证明思路:**等式两边的被积函数的原函数都存在,所以可以应用牛顿-莱布尼茨公式,假设F(x)是f(x)的原函数,则可得:

另一方面,记Φ(t)= F(φ(t)),对其求导数可以证明它是f(φ(t))φ’(t)的原函数,因此有:

因此有:

从而可知定理成立。

注意:

  • 在定积分中的dx,本来是定积分记号中的一个不可分割部分,但在定积分中利用换元公式时,可以将其作为微分记号。即在x=φ(t)时,dx = φ’(t)dt;
  • 应用换元公式时,用x=φ(t)把原变量x代换成新变量t时,积分区间的上下限也需要换成新变量t的上下限;
  • 求出f(φ(t))φ’(t)的原函数Φ(t)后,不必象计算不定积分那样再把Φ(t)变换成原来变量x的函数,而只要把新变量t的上下限分别代入Φ(t)相减即可;
  • 换元公式可以反过来使用,即把公式(3-1)左右两边对调,为了记忆方便(即换元都是x换为t),把t和x也进行互换,得到如下公式:

    这样就是用t=φ(x)来引入新变量t,而α=φ(a)、β=φ(b)。

三、案例

案例1

案例2

案例3

四、一些特殊函数的定积分性质

4.1、关于奇偶函数定积分的性质

1、如果f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则:

2、如果f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则:

这两个性质的证明非常容易,首先将其拆分为[-a,0]和[0,a]的定积分之后,对于负区间,用x=-t进行变换,结合奇偶函数的性质及定积分的补充规定即可证明。

利用这两个性质,可以简化奇偶函数在关于原点对称区间的定积分的计算。

4.2、关于f(sinx)复合函数的定积分

设f(x)在[0,1]上连续,则有:

这2个性质的证明只需要设t=π-x,通过函数及微积分的基础知识即可。

4.3、周期函数的定积分

设f(x)是连续的周期函数,则:

这2个证明应该非常容易,基于周期函数的性质就可以。

五、小结

本节介绍了定积分的换元公式,并举例介绍了通过换元法计算定积分的具体过程,需要注意,定积分计算时一定要关注不同积分区间可能原函数不同的情况。

说明:

本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

写博不易,敬请支持:

如果阅读本文于您有所获,敬请点赞、评论、收藏,谢谢大家的支持!

关于老猿的付费专栏

  1. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程,对应文章目录为《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》;
  2. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理,对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》;
  3. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏,是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合,相关资料基本上都是老猿反复研究的成果,有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV,对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录
  4. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容,包括爬虫入门的基础知识,以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。

前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习,第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。

对于缺乏Python基础的同仁,可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏:Python基础教程目录)从零开始学习Python。

如果有兴趣也愿意支持老猿的读者,欢迎购买付费专栏。

老猿Python,跟老猿学Python!

☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython

以上是关于人工智能数学基础---定积分4:使用换元法计算定积分的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

人工智能数学基础---不定积分4:有理函数求积分的方法

人工智能数学基础---不定积分3:分部积分法

人工智能数学基础---不定积分5:常用不定积分表

敲黑板,定积分也有换元和分部积分法

一元函数积分学——第一类换元法

数学竞赛作业题解答-1:因式分解之换元法(初中基础班)