人工智能数学基础---定积分4：使用换元法计算定积分

Posted 2021-09-05 LaoYuanPython

一、引言

在《人工智能数学基础–不定积分2：利用换元法求不定积分》介绍了三种换元法求不定积分的方法及案例，在《人工智能数学基础—定积分3：微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）》介绍了可以使用微积分基本公式–牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，那么在一定条件下利用换元法求定积分就是显而易见的可行方法。

二、换元公式

2.1、换元公式定理

定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=Φ(t)满足条件：

1. Φ（α） = a，Φ(β) = b；
2. Φ（t）在区间[α，β]上（或[β，α]上）具有连续导数，且其值域RΦ=[a,b]，或者值域RΦ虽然超出[a,b]，但f(x)在RΦ上连续，则有：
   
   公式（3-1）叫做定积分的换元公式。

可以看到，该公式与不定积分换元法的第二个公式的区别有两点，一是符号由不定积分变为了定积分，二是等式右边没有加t为x的反函数值的说明，这是因为可以通过t直接进行定积分值的计算，不需要还原到x再计算，具体请见下面的说明。

**证明思路：**等式两边的被积函数的原函数都存在，所以可以应用牛顿-莱布尼茨公式，假设F(x)是f(x)的原函数，则可得：

另一方面，记Φ（t）= F(φ(t))，对其求导数可以证明它是f(φ(t))φ’(t)的原函数，因此有：

因此有：

从而可知定理成立。

注意：

• 在定积分中的dx，本来是定积分记号中的一个不可分割部分，但在定积分中利用换元公式时，可以将其作为微分记号。即在x=φ(t)时，dx = φ’(t)dt；
• 应用换元公式时，用x=φ(t)把原变量x代换成新变量t时，积分区间的上下限也需要换成新变量t的上下限；
• 求出f(φ(t))φ’(t)的原函数Φ（t）后，不必象计算不定积分那样再把Φ（t）变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上下限分别代入Φ（t）相减即可；
• 换元公式可以反过来使用，即把公式（3-1）左右两边对调，为了记忆方便（即换元都是x换为t），把t和x也进行互换，得到如下公式：
  
  这样就是用t=φ（x）来引入新变量t，而α=φ（a）、β=φ（b）。

三、案例

案例1

案例2

案例3

四、一些特殊函数的定积分性质

4.1、关于奇偶函数定积分的性质

1、如果f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，则：

2、如果f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，则：

这两个性质的证明非常容易，首先将其拆分为[-a,0]和[0,a]的定积分之后，对于负区间，用x=-t进行变换，结合奇偶函数的性质及定积分的补充规定即可证明。

利用这两个性质，可以简化奇偶函数在关于原点对称区间的定积分的计算。

4.2、关于f(sinx)复合函数的定积分

设f(x)在[0,1]上连续，则有：

这2个性质的证明只需要设t=π-x，通过函数及微积分的基础知识即可。

4.3、周期函数的定积分

设f(x)是连续的周期函数，则：

这2个证明应该非常容易，基于周期函数的性质就可以。

五、小结

本节介绍了定积分的换元公式，并举例介绍了通过换元法计算定积分的具体过程，需要注意，定积分计算时一定要关注不同积分区间可能原函数不同的情况。

说明：

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