数学竞赛作业题解答-1：因式分解之换元法（初中基础班）

Posted 2020-10-06 赵胤数学课

 

本题为猿辅导2017年秋季初中数学竞赛基础班作业题，适合初一以上数学爱好者作答。

 

问题：

将 $5^{1995} - 1$ 分解为三个整数之积，且每一个因数都大于 $5^{100}$.

 

解答：

由 $1995 = 5\times399$, 考虑换元并使用基本乘法公式：$a^5 - 1 = (a - 1)\left(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1\right)$.

令 $5^{399} = n$, 可得 $$5^{1995} - 1 = n^5 - 1 = (n - 1)\left(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1\right),$$ 易知第一项 $n - 1 = 5^{399} - 1 > 5^{100}$, 主要目标将第二项进行分解。

考虑使用平方差并注意到 $5n = 5^{400}$ 是完全平方数。$$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$$ $$= \left(n^2 + 3n + 1\right)^2 - 5n(n+1)^2$$ $$= \left(n^2 + 3n + 1\right)^2 - 5^{400}\cdot(n+1)^2$$ $$= \left[\left(n^2 + 3n + 1\right) + 5^{200}\cdot(n+1)\right]\cdot\left[\left(n^2 + 3n + 1\right) - 5^{200}\cdot(n+1)\right].$$ 易知 $$\left(n^2 + 3n + 1\right) + 5^{200}\cdot(n+1) > 5^{100}.$$ 最后需验证后一项是否符合题意，即 $$\left(n^2 + 3n + 1\right) - 5^{200}\cdot(n+1)$$ $$= 5^{798} + 3\times5^{399} - 5^{599} - 5^{200} + 1.$$ 考虑作差比较：$$\left(5^{798} + 3\times5^{399} - 5^{599} - 5^{200} + 1\right) - \left(5^{100} + 1\right)$$ $$= 5^{798} + 3\times 5^{399} - 5^{599} - 5^{200} - 5^{100}$$ $$= \left(5^{798} - 5^{599}\right) + \left(5^{399} - 5^{200}\right) + \left(5^{399} - 5^{100}\right) + 5^{399} > 0.$$ 即 $$5^{798} + 3\times5^{399} - 5^{599} - 5^{200} + 1 > 5^{100}.$$ 综上，命题得证。

 

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

作者微信：zhaoyin0506