一元函数积分学——第一类换元法

Posted 2021-02-20 renxuw

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一元函数积分学——第一类换元法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

写在前面
凑微分法原理
几种基本形式
例题（千万不要跳过啊）

写在前面

昨天讲到了不定积分，属于积分学的入门，如果感到困难也没关系。可以买习题书多练练题。总之基本积分公式是基础。这一步走好了剩下的都不会太难。那么今天说说会了这些公式我们又该学习什么？显然考研数学不可能只从基本公式里出题，还会涉及一些变化，那么我来讲讲第一点——凑微分法。也叫第一类换元积分法。

凑微分法原理

在学习凑微分法之前我们得先明白其内在原理。

凑微分法其实就是复合函数求导的逆过程，复合函数求导后会产生两个部分

外部函数f（...）的导数（外部函数是指原函数的最外层函数）
中间变量g（x）的导数

凑微分法做的就是找出被积函数的中间变量g（x）和外部函数f（...），再把g（x）放到微分符号里面，函数部分只留下f（...）的导数,这样凑微分法就完成了。

看不懂可以看看图，还是看不懂也没关系，接下来我会带大家看看实际的题，抽象理论不好懂，但是到了题中会好很多。

技术图片

几种基本形式

1、 e^x型

这是最简单的一种类型,在这一类型中,

e^...就代表外部函数f(...)的导数,

而指数就是中间变量。

这类题型的中间变量求导后的核心部分会和除了e^...外的部分基本相同,最多系数不同要自己添加。

看几道例题

第二题就是所谓的核心部分相同,但系数不同

第三题的意思是这种情况下如果指数部分(中间变量)求导,核心部分不一样那么一定是题错了.XD

2、三角函数型

这一类的外部函数的f(...)的导数是sin.../cos...,中间变量就是x表示的部分.

同样中间变量求导和除了sin.../cos...之外的核心部分最多系数不同,之后这一点就不会再讲了,我想应该也记住了.

推广成一般形式:这里的f(x)也就是中间变量

同样看几道题

第一题就是中间变量求导核心变量完全相同,第二题就是核心部分原式的一半,需要在前面*2

3、1/x型

这一题型外部函数的导数是1/...，中间变量是分母部分。

同样给几道例题

最后一道第一次见可能比较头疼，但可以看出它和1/...这种形式比较接近。接下来只需要找到中间变量g（x），实在看不出可以依次求导，随后就会发现lnlnx求导后恰好等于1/xlnx，这样g（x）就找到了。套用1/x形式得出结果即可。

4、x^u型

前面基本本分公式讲到过这一公式，这属于凑微分法中比较难的而一种类型，主要是涉及到根号会很难看出外部函数和中间变量。就如推广的形式外部函数的导数是...^1/2中间变量是f（x）。

看看题仔细体会

这道题初见可能会觉得束手无策。解题步骤还是一样

看到根号可以先考虑外部函数为...^1/2（别问我怎么知道用这种形式，问就是去熟悉基本积分公式！！！）

看看里面如何求导能凑成里面的形式（一个小技巧：一般求导后会更简单）

由此我们用分子求导，发现刚好等于分母。这样问题就解决了。

例题（千万不要跳过啊）

又到了最重要的环节，想要深化自己学的知识。光靠理解理论是不够的。学一样东西要形成输入->加工->输出这一闭环才能真正学会，输入的是理论，加工成自己能理解的话，而输出就数学而言就是做题。

以下每一道题你可以先抄下来不要看答案，做完了看看那些不会！

那么开始之前：先提个习惯——做题三问，这道题考的那个公式？？？（该不会真以为有三个问题吧？知识三个问号而已XD，开个玩笑剩下两个超哥还没讲）

上题

到这里为止不知道大家发现没有我都是直接找出了外部函数f（....），那么中间变量自然而然的就知道了，这属于进攻型解法如果遇到了一眼看不出外部函数的怎们办呢？

其实之前基本形式已经告诉大家，可以试试先找g（x），找出g（x）外部函数也就知道了，这就属于防守型解法这一方法最重要的就是把握求导后更简单这一基本方向。（其实也不准确，三角函数求导后可能更复杂比如tanx求导等于sec²x。说成一部分可以由另一部分求导得出可能更合适，自己把握好就可以了）

在基础阶段对基本公式不太熟悉可以用这种方法。比如还是第九题

很容易发现2-3x²求导后和分子有关，这样就绕过了看出外部函数这一步骤，知道了g（x）外部函数的导数就自己体现出来了。

再举个栗子

法1就是直接找出外部函数的导数，g（x）也就知道了

法2通过求导找到了g（x），写成标准形式后外部函数的导数就体现出来了