jzoj3528NOIP2013模拟11.7A组数学拓扑DP图书馆(library)
Posted SSL_ZZL
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了jzoj3528NOIP2013模拟11.7A组数学拓扑DP图书馆(library)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【NOIP2013模拟11.7A组】图书馆
题面
Description
圣玛格丽特大图书馆是一座由石材砌成的角柱型高塔，是欧洲屈指可数的巨大书库。图书馆整面墙壁都是巨大的书架，书架与书架之间就像巨大的迷宫一般，以细窄的木制楼梯连结。大图书馆的最高处是一个绿意盎然的植物园，维多利加正在那无聊地看着书。今天，一如往常地，久城要爬上这迷宫般的楼梯给维多利加送讲义。
图书馆墙壁上有N个平台，编号为1到N，入口为1号，植物园为N号。有M个连接两个不同平台的楼梯，爬每个楼梯需要消耗一定的体力值。楼梯一定是由低处通往高处的，为了省时间，久城只能选择上楼梯而不能下楼梯，也就是说，楼梯之间不会形成环路。而且，出于人性化考虑，不管久城选择哪条路线上楼，他爬的楼梯数量一定小于20。
为了使体力消耗尽量平稳，久城需要选择一条“每个楼梯消耗体力值的方差最小”的路径上楼。请帮助久城计算出这个最小方差。
Input
第一行包含2个整数N,M，表示图书馆的平台数和楼梯数；
接下来M行，每行3个数x,y,z，表示存在一条由平台x通往平台y的楼梯，爬这个楼梯需要消耗z的体力值。
Output
一行1个实数，表示最小方差，精确到小数点后4位。
Sample Input
4 4
1 2 1
2 4 3
1 3 2
3 4 3
Sample Output
0.2500
Data Constraint
对于30%的数据，N≤10，M≤20；
另有20%的数据，N≤35，M≤220，z∈{0,1}；
对于100%的数据，2≤N≤50，M≤300，0≤z≤50，保证至少存在一条由1到N的路径。
Source / Author: library by 学军中学
解题思路
考场上想到了正解，然后自以为可以省掉一维，哈哈…哈哈哈哈
（因为时隔久远才补得博客，所以可能会讲得很乱）
由于打不出平均数符号（x拔）所以以下用y代替
y
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
y=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^nx_i
y=n1i=1∑nxi
∑ i = 1 n ( x i − y ) 2 = ∑ i = 1 n ( ( x i ) 2 + y 2 − 2 ⋅ x i ⋅ y ) \\sum_{i=1}^{n}(x_i- y)^2=\\sum_{i=1}^n((x_i)^2+y^2-2\\cdot x_i\\cdot y) i=1∑n(xi−y)2=i=1∑n((xi)2+y2−2⋅xi⋅y)
= ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + ∑ i = 1 n y 2 − ∑ i = 1 n 2 ⋅ x i ⋅ y =\\sum_{i=1}^n(x_i)^2+\\sum_{i=1}^ny^2-\\sum_{i=1}^n2\\cdot x_i\\cdot y =i=1∑n(xi)2+i=1∑ny2−i=1∑n2⋅xi⋅y
= ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + ∑ i = 1 n y 2 − 2 ⋅ y ∑ i = 1 n x i =\\sum_{i=1}^n(x_i)^2+\\sum_{i=1}^ny^2-2\\cdot y\\sum_{i=1}^nx_i =i=1∑n(xi)2+i=1∑ny2−2⋅yi=1∑nxi
= ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + n ⋅ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ n ⋅ y =\\sum_{i=1}^n(x_i)^2+n\\cdot y^2-2\\cdot y\\cdot n\\cdot y =i=1∑n(xi)2+n⋅y2−2⋅y⋅n⋅y
= ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + n ⋅ y 2 − 2 ⋅ n ⋅ y 2 =\\sum_{i=1}^n(x_i)^2+n\\cdot y^2-2\\cdot n\\cdot y^2 =i=1∑n(xi)2+n⋅y2−2⋅n⋅y2
= ∑ i = 1 n ( x i ) 2 − n ⋅ y 2 =\\sum_{i=1}^n(x_i)^2-n\\cdot y^2 =i=1∑n(xi)2−n⋅y2
最后还要除以n（求方差 : )）
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
)
2
−
y
2
\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n(x_i)^2-y^2
n1i=1∑n(xi)2−y2
发现我们只需要维护y，求sigma（
x
i
2
xi^2
xi2）即可
设
f
i
,
j
,
k
f_{i,j,k}
fi,j,k为走到第i个点，走了j条边，总和为k的sigma（
x
i
2
xi^2
xi2）（那么y = k / j）
ans = (f[n][j][k] - (k / j)) / j
#tips
为了保证f的正确性，需要先拓扑
由于可能会有其他的点犯贱没有入度，要筛掉这些点及其边
比如这种情况，t[1] = 0, t[2] = 2, t[3] = 1, t[4] = 0
删掉(1->2)的边，t[2] = 1，不能进入拓扑，所以先把以别的点作为起始点的路删掉
Code
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
#define ldb long double
using namespace std;
struct DT{
int to, next, s;
}a[500];
int n, m, x, y, z, num, pnum;
int t[60], p[60], f[60][60][1100], head[60];
queue<int> q;
ldb cnt, ans;
void add(int x, int y, int z) {
a[++num] = (DT){y, head[x], z};
head[x] = num;
}
int main() {
// freopen("library.in", "r", stdin);
// freopen("library.out", "w", stdout);
scanf("%d %d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
add(x, y, z);
t[y]++;
}
for(int i = 2; i <= n; i++) { //把以别的点作为起始点的路删掉
if(t[i] == 0)q.push(i);
while(!q.empty()) {
p[++pnum] = q.front();q.pop();
for(int i = head[p[pnum]]; i; i = a[i].next) {
t[a[i].to]--;
if(!t[a[i].to])
q.push(a[i].to), t[a[i].to] = 以上是关于jzoj3528NOIP2013模拟11.7A组数学拓扑DP图书馆(library)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
jzoj3505NOIP2013模拟11.4A组组合逆元积木
[jzoj]3506.NOIP2013模拟11.4A组善良的精灵(fairy)（深度优先生成树）
jzoj3510NOIP2013模拟11.5B组DAY 1 （7.12）DP最短路径(path)
jzoj3508NOIP2013模拟11.5B组DAY 1 （7.12）HASH好元素(good)